soit P=X^n + an*X^(n-1) +........+a1 dans C[X] et M=sup(|ai|)
comment demontrer que toute racine z de P verifie |z|=
Polynomes
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par fahr451 » 20 Sep 2007, 19:22
bonsoir
soit z une racine
z^n = - sigma ai z^i
en prenant le module et l inégalité triangulaire
l zl^n=< sigma lail lz^il =< M sigma lzl^i
si lzl=<1 on a a fortiori lzl=<1+M
si lzl>1 on a donc
l zl^n=< M (l zl ^n -1) /(lzl-1)
soit
lzl^(n+1) - lzl^n =< Mlzl^n -M=< Mlzl^n
d'où
en simplifiant par lzl^n
lzl=< M+1
soit z une racine
z^n = - sigma ai z^i
en prenant le module et l inégalité triangulaire
l zl^n=< sigma lail lz^il =< M sigma lzl^i
si lzl=<1 on a a fortiori lzl=<1+M
si lzl>1 on a donc
l zl^n=< M (l zl ^n -1) /(lzl-1)
soit
lzl^(n+1) - lzl^n =< Mlzl^n -M=< Mlzl^n
d'où
en simplifiant par lzl^n
lzl=< M+1
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