Polynômes

[Tuvasbien]

Bonjour, je me demandais s'il existait une méthode pour connaître complètement un polynôme à partir des valeurs qu'il prend. Bien sûr on ne connaît pas son degré (sinon ça serait trop simple). J'avais pensé à l'interpolation mais il faut connaître le degré de , j'ai aussi pensé à des algorithmes qui permettent de construire des suites qui convergent uniformément vers sur (auquel cas la suite est stationnaire et vaut à une constante additive près que l'on peut obtenir), la question est de savoir au bout de quel terme est-ce qu'on a atteint et là encore il faut connaître le degré.

[GaBuZoMeu]

Je ne comprends pas bien ton problème. Pour toute famille finie de couples où les sont distincts, il existe une infinité de polynômes tels que pour tout . Par contre, si la famille des est infinie, alors là il existe au plus un polynôme qui satisfait cette condition.

[Tuvasbien]

Je vais être plus précis, on considère un polynôme , la seule chose que l'on peut savoir c'est les valeurs que peut prendre . Autrement dit, déterminer le polynôme (s'il est unique) tel que avec et des suites données (on suppose qu'il existe).

[fatal_error]

slt,

pas sûr de comprendre non plus. Les polynomes de lagrange suffisent pas?
https://fr.wikipedia.org/wiki/Interpola ... grangienne

[GaBuZoMeu]

Comme je l'ai déjà écrit, si tu disposes des valeurs en pour un nombre infini de , alors tu es assuré de l'unicité.
Ensuite pour le récupérer explicitement (s'il existe), tu peux former les suites des différences divisées (voir wikipedia). Si la suite des différences divisées d'ordre est constamment nulle, alors tu sais que ton polynôme est de degré et du coup on le récupère par interpolation.

PS. L'interpolation de Lagrange va bien si on connaît le degré du polynôme. Tuvasbien a bien insisté sur le fait qu'on ne le connaît pas. J'ai indiqué ci-dessus comment retrouver le degré si on a les valeurs en une infinité de points.

[fatal_error]

PS. L'interpolation de Lagrange va bien si on connaît le degré du polynôme.

au risque de paraitre obtu:
pour tout n fixé, je peux définir mes pol de lagrange de degré n.

Si ta remarque adresse le problème de l'infinité de points, je sais pas, j'ai juste retenu que yavaient les pièges de l'infini sans savoir pourquoi ..

[lyceen95]

A partir de n points, il y a 1 unique polynome de degré n-1 (système à n équations et n inconnues, avec l'assurance que ces équations ne sont pas liées) et pour tour degré d supérieur ou égal à n, il existe une infinité de polynomes de degré d.

Et, sauf cas particulier, il n'existe pas de polynome de degré inférieur à n-1.
Donc en cherchant l'unique polynome de degré n-1, si par chance le coefficient de x^(n-1) est nul, alors, on est dans ces cas particuliers où il existe un polynôme de degré inférieur à n-1

[GaBuZoMeu]

Relire les deux messages de Tuvasbien pour voir quel est exactement son problème.
Une possiblité avec l'interpolation de Lagrange consisterait à calculer la suite des polynômes interpolants aux points pour tout entier . Si la suite des valeurs provient d'un polynôme, cette suite finira par stationner à ce polynôme. Mais il faut disposer de toute la liste pour être sûr qu'on a bien attrapé ce polynôme (de même que dans la méthode des différences divisées, pour être sûr que le degré est il faut disposer de la suite de toutes les différences divisées d'ordre )