Polynômes

[L.A.]

Bonsoir,

Un morphisme d'algèbres (K corps) peut-il être injectif ?

Peut-on calculer son noyau à partir des polynômes , ?

Merci :zen:

[Doraki]

Non

Si f(T1) et f(T2) sont de degré <= d, l'espace des polynômes de degré n en T1 et T2 (de dimension ~ n²/2) est envoyé dans l'espace des polynômes de degré nd en T (de dimension nd+1), et donc pour n >= environ 2d tu vas avoir des polynômes en T1 et T2 qui vont s'annuler quand t'appliques f.
(il devrait être de degré au plus deg(P1) en T2 et deg(P2) en T1)

Après pour la forme du noyau je sais plus trop ce qui est possible. Il me semble qu'il devrait être principal puisqu'il correspond au polynôme minimal de P2 par rapport à K(P1) (et vice versa)

Je serais pas surpris si y'avait une formule avec un gros déterminant pour le calculer.
Et en fait oui : c'est le résultant de P1-T1 et de P2-T2 vus dans K[T1,T2][T]
(avec un détail près, ce que tu obtiens c'est le polynôme minimal, à la puissance [K(P1,P2) : K(T)])

[paquito]

Cherche un contre exemple. Tu peux considérer et comme des extensions du corps K.