Polynômes

[Trident]

Bonjour, j'ai un petit problème à propos des polynômes, il me manque un truc dans ma preuve.

On considère d'abord la fonction f définie sur I= ]-oo,1[ par

On a déjà montré que f est dérivable à tout ordre et pour x dans I, n dans N, où f^n désigne la dérivée nième et P_n est un polynôme de R[X] satisfaisant la relation de récurrence suivante :

.

Ensuite, sachant que f vérifie : pour tout x dans I, , il faut en dérivant n fois des deux côtés et en utilisant la formule de Leibniz, montrer que


(*)

Il est ensuite conseillé de montrer d'abord que si u s'écrit 1/(1-x) avec x dans I, alors :


, ce dont j'ai réussi.

Maintenant, pour montrer (*), il faut montrer l'égalité pour tout X dans R. Il y a un premier cas facile car si X > 0, X s'écrit 1/(1-x) avec x=(1-X) qui appartient à I du coup.

Mais comment montrer l'identité avec X < 0 ?

Merci d'avance.

[Monsieur23]

Aloha,

Si tu regardes le polynôme

tu as montré qu'il avait une infinité de racines (tous les u > 0). Donc ?

[Trident]

Aloha,

Si tu regardes le polynôme

tu as montré qu'il avait une infinité de racines (tous les u > 0). Donc ?

Donc il est nul! Merci!

[zygomatique]

salut

où est-il démonté que .... à une infinité de racines ?

[Trident]

salut

où est-il démonté que .... à une infinité de racines ?

J'ai réussi à démontrer l'égalité avec u=1/(1-x) pour x dans I.

Maintenant, pour démontrer l'identité polynomiale demandée, il faut montrer l'égalité pour tout X dans R. Si X s'écrit sous la forme 1/(1-x) avec x dans I, c'est gagné. Il se trouve que pour X > 0, X=1/(1-x) avec x = 1-X qui appartient bien à I.
Donc l'identité demandée a été montrée pour tout X dans R^+.

[zygomatique]

je ne vois rien dans ton post qui va dans ce sens ...

enfin bon ....


l'application x --> 1/(1 - x) est une bijection de R - {1} dans .... ?

[Trident]

je ne vois rien dans ton post qui va dans ce sens ...

enfin bon ....


l'application x --> 1/(1 - x) est une bijection de R - {1} dans .... ?

J'ai juste pas détaillé mon post mais j'ai dit que j'avais réussi la partie non détaillée. Sinon, on travaille pas dans R mais dans I dans l'exercice car à la base, la fameuse fonction f est solution d'une équation différentielle sur I.