Polynomes

[Anonyme]

Salut

Je dois determiner les polynomes de C[X] verifiant :
pour tt complexe z, P(z) est reel.

Je sens que ce sont les polynomes constant mais la preuve m'echappe.

Merci

[El_Gato]

Une solution, pas très élégante:

Posons .

Par la formule donnant le n-ième coefficient en fonction de la dérivée n-ième en 0, on voit d'abord que tous les sont réels.

Ensuite, tu fais une récurrence sur le degré: sur tous les polynômes de degré inférieur ou égal à n qui ont cette propriété (avec l'intention de montrer qu'ils sont constants réels).

On en déduit facilement que P est une constante réelle.

[redwolf]

Une autre solution :
Si est de degré plus grand que 1, quel que soit complexe, le polynôme a une racine , et . Donc non seulement prend des valeurs non réelles, mais il prend toutes les valeurs non réelles !