Polynomes

[cabaline]

Bonjour à tous, j'essaie de réviser un peu les polynomes car je ne suis pas tres forte en math et je suis tombée sur cette exercice :
Enoncé :
Résoudre les equations suivantes :
1/ P'² = 4 P
2/ (X²+1)P'' - 6P = 0 (d'inconue P)

Pour la 1/ j'ai trouvé que le polynome nulle est solution évidente et que si P n'est pas constant, là mon prof m'a dit de voir avec les degres, alors à la fin je trouve deg P = 2 ce qui est coherent, cependant je ne comprends pas pourquoi la résolution doit passer par l'utilisation des degres? et je ne sais pas si determiner le degres suffit pour avoir résolver l'equation?
Pour la 2/ je ne sais pas par ou commencer..

si quelqu'un est inspirée pour m'éclairer un peu; bisous à tous !

[Sylviel]

1) Passer par les degrés te permet d'avoir des infos (des conditions nécessaires) sur P. Mais cela ne suffit pas. En revanche maintenant que tu sais que deg(P)=2 il suffit d'écrire P=ax²+bx+c et de trouver des conditions sur a, b et c. Puis de montrer qu'elles sont suffisantes.

2) once again : essai de déterminer le degré. Après tu peux écrire entièrement ton polynome et faire les calculs.

[cabaline]

Merci de votre réponse, oui ca yest j'ai compris : pour le 1/ je trouve comme solutions le polynome nul et les polynomes P(X) = X² + bX + b²/4
2/ Je pose n le degrés de la solution et je trouve n = 3 et je suis en train de faire la résolution
Merci de votre aide !

[Matt_01]

1) Passer par les degrés te permet d'avoir des infos (des conditions nécessaires) sur P. Mais cela ne suffit pas. En revanche maintenant que tu sais que deg(P)=2 il suffit d'écrire P=ax²+bx+c et de trouver des conditions sur a, b et c. Puis de montrer qu'elles sont suffisantes.

2) once again : essai de déterminer le degré. Après tu peux écrire entièrement ton polynome et faire les calculs.

Pour la 2 j'suis pas persuadé.

EDIT : Au final si, mais c'est pas la même méthode ^^

[cabaline]

Je ne sais pas en fait, car le degres que je trouve est 3 et quand je remplace P par un polynome de deg 3 je ne retrouve pas l'equation

[Sylviel]

Je ne sais pas comment tu as trouvé un degré 3, pourrais tu préciser ?

[cabaline]

Je suppose que le coefficient dominant de P est a et deg p = n
donc : pour 6P, le coeff dom est 6a et le deg est n
p' : coeff dom : na et deg : n-1
P" : coeff dom n(n-1)a et deg : n -2
(X²+1)P" : coeff dominant est toujours n(n-1)a et le deg est n car deg 2(n-2) = n

Pour que (X²+1)p" - 6P = 0 il faut que n(n-1) - 6 = 0 ; j'ai calculé le discriminant je trouve -2 et 3 et comme un degres est positif j'en deduis que le degres est 3..

[Matt_01]

Je suppose que le coefficient dominant de P est a et deg p = n
donc : pour 6P, le coeff dom est 6a et le deg est n
p' : coeff dom : na et deg : n-1
P" : coeff dom n(n-1)a et deg : n -2
(X²+1)P" : coeff dominant est toujours n(n-1)a et le deg est n car deg 2(n-2) = n

Pour que (X²+1)p" - 6P = 0 il faut que n(n-1) - 6 = 0 ; j'ai calculé le discriminant je trouve -2 et 3 et comme un degres est positif j'en deduis que le degres est 3..

C'est bien cela. Par contre il y a une solution.

[cabaline]

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi vous parlez de i ou -i ?..

[Matt_01]

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi vous parlez de i ou -i ?..

Mon raisonnement n'était pas bon en fait. Mais i et -i apparaissaient comme racine de X²+1.

[cabaline]

D'accord, donc je remplace bien P(x)= aX^3 + bX²+cX+ d pour essayer de résoudre ? ( Si oui, je les fais, mais je ne trouve pas de solutions, est-ce une erreure de calcule ou une erreure dans la méthode?)

[cabaline]

A l'identification je trouve :
6a = 6a
2b = 6b
6a = 6c
2b = 6d

Je ne sais pas ou je me suis trompée !

[Sylviel]

et bien ça se résoud ton système... (on a jamais dis qu'il n'y avait qu'une seule solution !)

déjà que peux tu dire de b et de d ?
puis quel lien peux-tu établir entre a et c ?

Finalement as-tu l'impression de pouvoir faire une autre remarque ?

Si ce n'est pas le cas à quoi dois ressembler ton polynome solution ? Vérfie qu'il est bien solution...

[cabaline]

Oui mais je trouve 2b = 6b or ca c'est imposibble ?
d= 1/3b c = a mais 2b = 6b?

[Sylviel]

Si si, il y a bien une (unique solution)

Un conseil : passe tout d'un côté...

[cabaline]

J'aurais donc b = 0 donc d = 0 et c = a et cest tout?

[Sylviel]

Et maintenant il reste à vérifier que tout les polynomes qui ont cette forme sont solution.