DM polynômes MPSI

[azert123]

Bonsoir, pouvez vous m'aider pour la question b) et c) svpp ?

soient a, b ∈ C
• on note (Ea,b ) l’équation : P (X 2) = P (X + a)P (X + b), d’inconnue P ∈ C[X ]

Dans cette partie, on suppose a = b

L’équation, (Ea,a ), se réécrit donc : P (X^2) = [P (X + a)]^2

1. Soit P ∈ C[X ] un polynôme non constant.
On note p le nombre de racines complexes distinctes de P
(a) Justifier : p ∈ N∗
(b) Déterminer le nombre de racines complexes distinctes du polynôme [P (X + a)]^2
(c) Déterminer de même le nombre de racines complexes distinctes du polynôme P (X^2) (discuter selon
P(0))

[Ben314]

Salut,
Pour la b), mettons qu'on te donne "pour de vrai" le polynôme P : puis qu'on te demande de déterminer les racines de , c'est à dire de résoudre , tu ferais comment ?

[azert123]

Salut,
Alors, j'irai comme un bourrin, j'aurais enlever le premier carré et j'aurais tout développé.

[azert123]

Mais sinon j'aurais aussi dit que X+7 est racine du polynome.

[Ben314]

Oui : le carré ne sert à rien (si on ne compte pas les racines avec ordre de multiplicité) et le +7 (ou +a dans le cas général), il ne fait que décaler les racines. Donc le nombre de racine distinctes de , c'est le même que celui de (donc ).

[azert123]

Ahh oui c'est effectivement ce que j'avais trouvé, merci beaucoup !
Je pense procéder de la même manière pour la question c) cela est il possible ?

[Ben314]

C'est plus ou moins pareil, modulo que des racines carrées différentes, un complexe non nul en a toujours 2, mais le complexe 0, lui, n'en a qu'une seule.
Donc à chaque racine non nulle de va correspondre deux racines distinctes de , mais si 0 est racine de il ne va lui correspondre qu'une seule racine pour , à savoir de nouveau 0.

[azert123]

AHH oui ok je comprends beaucoup mieux, donc cela nous donnerait 2p racines ou 2p-1 racines pour P(0) ?
Mon problème c'est la rédaction je ne sais jamais comment traduire mes idées de façon mathématique.