Polynôme de matrices nilpotentes.

[Nightmare]

Salut à tous :happy3:

Je propose cet exercice facile au résultat inattendu :

Soient A, B deux matrices complexes carrées nilpotentes. On suppose qu'il existe P de valuation 1 tel que

Que peut-on en déduire pour A et B ?

Ce n'est pas difficile, encore une fois faut juste trouver l'astuce :happy3:

[yos]

Même indice de nilpotence!
(c'est peu, je sais, mais la question ne demande rien de précis et je suis paresseux).

[ffpower]

Si A et B sont nilpotentes,P existe forcément non?(prendre P=X^n)
Donc pour ma part je dirais qu on peut rien dire du tout

[Nightmare]

Oups, tu as raison ffpower ! P doit être de valuation 1, je corrige !

[yos]

Ah oui tiens, c'est ce que j'avais pris implicitement.

[ffpower]

Si on a montré que A^k=B^k pour tout k>m,en développant l égalité P(A)^m=P(B)^m,on obtient A^m=B^m.Grace a une reccurence descendante sur m,on obtient donc A=B..

[Nightmare]

Récurrence descendante? Jolie méthode. :happy3:

[Nightmare]

Qu'est-ce que ton m ?

[ffpower]

je montre par reccurence descendente sur m la propriété "pour tout k>m,A^k=B^k",l initialisation se faisant pour m=dimension de l espace

[Nightmare]

Ok, je ne vérifie pas je te fais confiance je pense que ça marche.

L'idée qui m'a été proposée pour cet exercice était de montrer en lemme qu'il existe un polynôme Q (dépend du degré de P) tel que Q(X)=X modulo X^n. Si cela t'intéresse je posterai la démo (qui ne m'appartient pas)