Polynome irréductible

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franky4doigts
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polynome irréductible

par franky4doigts » 06 Juin 2008, 21:17

Bjour, j'aurais besoin d'aide pour l'exo suivant:
Soit a1...an n entiers distincts
monter que le polynome (X-a1)(X-a2)..(X-an)-1 est irréductible dans Q



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leon1789
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par leon1789 » 06 Juin 2008, 22:50

L'irréductibilité peut se démontrer sur Z (puisque le polynôme est unitaire à coefs entiers).

Maintenant écrivons une factorisation du polynôme en PQ où P et Q sont des polynômes unitaires à coeffs dans Z. Montrons alors que P ou Q est forcément constant (...et le résultat sera acquis).

Pour tout i, on a . Mais nous travaillons sur Z, si bien que .

Ainsi le polynôme s'annule en . Or puisque P et Q sont unitaires. Donc . Ainsi
ce qui force ou .



Remarque : le résultat est faux avec .

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leon1789
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par leon1789 » 06 Juin 2008, 23:33

Avec ce lemme, tu veux montrer que le polynôme n'a pas de racine dans Q ?

franky4doigts
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par franky4doigts » 07 Juin 2008, 23:28

Tu sais comment on peut passer de Z à Q?

yos
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par yos » 08 Juin 2008, 00:44

Si ton polynôme F est réductible sur Q, tu as F=PQ, avec P et Q à coefs rationnels. En multipliant par un entier n>0 convenable on obtient , avec et à coefs entiers. On peut supposer n minimal de sorte que les coefs de soient premiers entre eux et pareil pour . Mais il y a un lemme de Gauss sur le "contenu" d'un polynôme (PGCD de ses coefs) qui dit que . D'où n=1 et donc P et Q sont à coefs entiers.

ThSQ
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par ThSQ » 08 Juin 2008, 11:18

leon1789 a écrit:le résultat est faux avec .


Oui et non.

Si n est impair c'est vrai :zen:

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leon1789
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par leon1789 » 08 Juin 2008, 19:36

ThSQ a écrit:Oui et non.
Si n est impair c'est vrai :zen:

exact :happy2:

 

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