Polynôme de degré n+1

[upium666]

Bonjour à tous et à toutes,
Je suis en première scientifique. Ce que je demande n'est pas dans le programme.
Je voudrais déterminer la formule (générale) d'un polynôme de degré tel que :
(afin de pouvoir aisément calculer par exemple)
De la formule générale d'un polynôme :
J'ai déduis :
Par somme on obtient :
Et là, du haut de ma petitesse, vu mon niveau, je pense que ça sent le binôme de Newton
Quelqu'un pourrait-il m'aider à me rapprocher de la solution ?
Merci

[Doraki]

dans P(x), la somme va de i=0 à i=n+1, mais l'erreur est pas grave puisque le terme en x^(n+1) est fait pour s'annuler juste après.
J'crois pas qu'il y ait de formule vraiment simple qui exprime Pn.

Cependant tu peux dire que si Qn = somme pour k=0 à n des C(n,k) Pk,
Qn(x+1) - Qn(x) = somme pour k=0 à n des C(n,k) (Pk(x+1)-Pk(x))
= somme pour k=0 à n des C(n,k) x^k
= (x+1)^n
= Pn(x+2) - Pn(x+1).

Et comme Pn et Qn ont même degré, on a donc Qn(x) = Pn(x+1),
Donc Pn(x) + x^n = Pn(x+1) = Qn(x) = Pn(x) + somme pour k=0 à (n-1) des C(n,k) Pk(x),
Donc n*P(n-1) = x^n - somme pour k=0 à (n-2) des C(n,k) Pk(x).
Ce qui te donne une relation pour calculer Pn à partir de tous les Pk d'avant.

1*P0(x) = x - somme vide = x, donc P0(x) = x
2*P1(x) = x² - 1*P0(x) = x²-x, donc P1(x) = (x²-x)/2
3*P2(x) = x^3 - 1*P0(x) -3*P1(x) = (2x^3 - 3x² + x)/2, donc P2(x) = (2x^3-3x²+x)/6
etc.