Plan ,triangle

par **Sylar** » 14 Aoû 2007, 01:56

Bonsoir,
voila je bloque sur cette énigme:

Les points du plan sont coloriés à l'aide de deux couleurs. Montrer qu'il existe un triangle rectangle isocèle dont les trois sommets sont de la même couleur.

Merci...

par **Imod** » 14 Aoû 2007, 08:19

Bonjour,

considère par exemple un carré et les médiatrices de ses côtés .

Imod

par **Sylar** » 14 Aoû 2007, 13:59

Merci je vais voir.

par **kazeriahm** » 14 Aoû 2007, 15:17

salut

ce problème a déjà été soumis par Imod non ? (dans la section Enigmes ou Olympiades ?!)

par **Miya** » 15 Aoû 2007, 00:42

Salut,

en te limitant au quadrillage du plan (cad Q), et en colorant les points tu va rapidement tomber sur une situation où tu construis un triangle isocèle avec trois points de la même couleur.
Puisque c'est vrai pour Q, d'autant plus pour C.

Je peux expliquer davantage avec des ptits dessins si tu veux.

ps : Je n'ai pas compris l'indice du carré et de ses médiatrices.

par **Miya** » 15 Aoû 2007, 03:00

Allez, comme j'aime bien ma solution et que j'ai la flemme de dormir, je détaille.

Pour commencer, on appelle la première couleur B, la seconde W (je prends un W parceque je trouve que c'est une lettre trop peu utilisée en mathématiques, et que ça doit être triste pour cette belle lettre).

On va travailler par l'absurde : supposons qu'il n'existe pas trois points d'une même couleur tels qu'ils forment un triangle isocèle rectangle.
Il y a alors une infinité de ces points.

Prenons deux points W (la distance entre ces deux points n'importe évidemment pas, le quadrillage étant infini), sur lequels on va centrer notre démonstration. On oriente le repère dans un carré 3x3 (3x3 parceque cette taille suffit pour arriver à la contradiction), ? representant ce qui est pour le moment inconnu :

qui est isocèle rectangle, contrairement à ce que mon illustration laisse entendre.
Cela enfreint l'hypothèse, il existe donc trois points de même couleurs formant un triangle isocèle rectangle.

edit : le forum n'affiche pas mes espaces, ce qui fait que c'est complétement illisible

Quelqu'un connaît un moyen autre que faire image shack pour arranger le problème?
reedit : problème réglé avec imageshack

Plan ,triangle

Plan ,triangle

Qui est en ligne