Jean_Luc a écrit:Un peu plus de details, P représente
dans ABC.
= nombre de triangle de taille k
Les rectangles sont tous FAaT.
A l'étape k=3, nous avons un unique rectangle, noté
. Pour paver le plan,on considère qu'à l'étape k=7, ce rectangle
se retrouve, (de manière isométrique) dans le coin droit du rectangle
de l'étape k=7. Le passage de l'étape k=3 à l'étape k=7 est une
similitude. La considération des angles puis des aires indiquent que le rapport
de similitude est
On note que
et
sont composés
d'un nombre entiers de triangles bleus et rouges.
Soit
le nombre entier de triangles bleus et
le nombre entier de triangles rouges, à l'étape n, dans le rectangle
La considération des aires permet d'écrire:
Les nombres 1 et
étant libres sur
car
est irrationnel, on identifie les coefficients entiers
des combinaisons linéaires, d'où:
La proportion de triangles bleus et rouges ,
vérifie la récurrence:
Cette suite s'étudie posant:
et en montrant que
est géométrique.
Ainsi,
La proportion de triangles bleus et rouges a pour limite le nombre irrationnel
.
Le pavage du plan, obtenu en expansant les rectangles, est apériodique.