Voiçi l'idée, venue des pavages de Roger Penrose:
le nombre d'or
soit
On définit donc l'angle
et
On part d'un triangle rectangle ABC, rectangle en A,ayant ces deux angles complémentaires pour angles adjacents de l'hypoténuse.
A partir du sommet A, on mène récursivement deux hauteurs
à partir de chaque pied de hauteur obtenue à l'étape précédente.
vous voyez le truc ?
Au bout de quelques opérations, les lignes polygonales obtenues se "raccordent" . Il faut faire les calculs pour le montrer. On découpe ainsi le triangle initial en un nombre fini de petits triangles rectangles, tous semblables au grand , avec seulement deux motifs,deux patrons P1 et P2. La famille des petits triangles possède donc deux classes d'isométrie. Comme il y a un aspect "fractal" dans la construction, ABC étant pavé par des triangles semblables à lui-même, on peut donc paver l'ensemble du plan,
par des triangles , soient isométriques au patron P1 ou isométriques au patron P2.
On montre que le pavage obtenu est apériodique, car le rapport
entre le nombre de triangles d'une, ou, l'autre taille,P1 ou P2, a une limite irrationnelle. :zen:
Ce qui me plairait serait de réaliser sous Adobe Postscript le ou les
pavages obtenus pour les exposer sur le Web.
Le problème de paver le plan,a-périodiquement, avec un seul motif est encore un problème ouvert.
