Physique, équation différentielle second ordre avec complexe

[ThekamikazeFou]

Bonjours, j'espere que sur un forum de math on pourra me répondre.
tout d'abord pour ceux qui ne sont par trop physique, n'ayez pas peur ici ce ne sont que des maths et je vais essayer d'être le plus claire possible !

je vais vous énoncé une correction d'exercice que j'ai fait, mais je trouve le résultat plutot étrange.
on a L= 0.01H
je cherche à exprimé i(t) .


préalablement j'ai trouver une équation de ce type (qui est correcte)



je n'ai pas la valeur de E .

on sait que d'une manière générale i(t) = A exp (r1t) + B exp (r2t)
or avec les conditions initiales on à

donc

je cherche donc à calculer le discriminant de l'équation précédente.






précédement j'avais aussi trouver que

comme:





donc


on à donc



est ce que le résultat est juste?

merci de votre aide !

[DamX]

Hello,

Je n'ai pas vérifié tous les calculs.

En ce qui concerne ta solution, elle a une "bonne tête" il suffit juste de la simplifier pour retomber sur une forme plus classique.








Mais là où j'ai quelques doutes dans ta méthode c'est que cela, c'est l'expression d'un régime d'oscillations amorties dans un RLC, solution de ton équation différentielle avec = 0 et non = E/10^-6. quand tu as un second membre non nul comme c'est le cas ici, tu dois trouver une solution particulière (ici en regardant i constante) puis rajouter les solutions de l'équation homogène avant de déterminer les constantes d'intégration en regardant les valeurs connues de i et de sa dérivée en t0+.

Je ne sais pas si je suis très clair :/

En gros ton r1 et r2 ont l'air d'être bon, mais ne détermine pas A et B comme tu l'as fait, tu le fais trop tôt. Ajoute d'abord la solution particulière avant de les déterminer par les valeurs en t0+. Ici tu as fait (en tout cas on dirait) comme si tu n'avais pas de second membre.

Damien

[ThekamikazeFou]

Ok merci beaucoup c'est un peut plus claire, mais simple question, comment avez vous simplifier le dénominateur par 0,01*28213 ? Personnelement je trouve un resultat avec j
De meme au numerateur.

Or un courant imaginaire n'exite pas.

Deplus il s'agit bien d'un regime pseudo periodique amortie de type RLC. Mais je ne comprends pas ce que vous voulez dire par une solution particuliere de i(t)

Merci

[Black Jack]

préalablement j'ai trouver une équation de ce type (qui est correcte)

En es-tu bien sûr ?

S'il s'agit d'un circuit RLC attaqué par une source de tension continue E ...
Le second membre de l'équation différentielle de variable i devrait être = 0

Tu aurais un second membre en E/... avec l'équation différentielle avec la variable étant la tension sur le C ou sur le L par exemple, mais alors la variable ne serait pas un courant mais bien une tension.

Bref :

(qui est correcte)

Je suis sceptique.

:zen:

[ThekamikazeFou]

Je vous mets le resonnement qui précède cette équation des que possibles ( je suis en 3g)
Mais il s'agissait d'un resultat corrigé par notre prof, j'ai voulu finir l'exo.

Je vous met le raisonnement dans quelques minutes.

[ThekamikazeFou]

problème résolut, j'ai réussi à trouver une correction de l'exercice et il ne fallait absolument pas faire comme cela.

l'équation est bien egale à E/ 10^-6

mais le résonnement est complètement différent donc la solution aussi.

alors vous dire pourquoi cela ne fonctionne pas, je ne serrais pas vous dire, pourtant j'ai fais un exercice similaire avec la même méthode que j'ai fais précédement.


bref merci ! :)

[Black Jack]

Je serais intéressé d'avoir l'énoncé complet qui a conduit à l'équation différentielle donnée.

Juste pour info.
Je reste plus que sceptique.

:zen:

[ThekamikazeFou]

Bon et bien préparez vous à une longue lecture constructive ! :hein:
et veuliez lire tout j'ai mis beaucoup de temps à tout ecrire...



voila le type de schéma que nous avons.
e= E= 10V pour t>0 pour t

cherchons désormais l’équation différentiel du circuit en fonction de i

or

on sait que

et donc

si quelqu'un à compris ces égalitées merci de me le dire et de me l'expliquer si possible

ensuite :

par conséquent on à l'équation qui suit :



et donc:

je ne vais pas faire tout les calculs mais on à un régime pseudo périodique avec Q> 1/2

donc l'équation de


sauf que ici j'ai :

avec
Si quelqu'un peut m'explique l'ajout de ça serrait sympa !

Recherche de A et B

donc

or par le calcul donc

recherche de B



bref par simplification on trouve

et donc :


Fiouuuuu voila l'équation finale !

[Black Jack]

C'est toujours beaucoup plus clair avec le schéma.

Le second membre non nul de l'équation est généré par la résistance en // sur le C.
-----

R//C = (R * 1/(pC))/(R + 1/(pC)) = R/(1 + pRC)

Z total = R + pL + (R/(1 + pRC))

Z total = [(R + pL)(1+pRC) + R]/(1 + pRC)

Z total = (R + pR²C + pL + p²LRC + R)/(1 + pRC)

Z total = (p²LRC + pR²C + pL + 2R)/(1 + pRC)

e = Ztotal .i

e = (p²LRC + pR²C + pL + 2R)/(1 + pRC).i

e(1 + pRC) = (p²LRC + pR²C + pL + 2R).i

e + RC de/dt = LRC.d²i/dt² + R²C.di/dt + L.di/dt + 2R.i

Et si e = E (constante, alors d²/dt = 0) --->

LRC.d²i/dt² + R²C.di/dt + L.di/dt + 2R.i = e

d²i/dt² + R²C/(LRC) .di/dt + L/(LRC).di/dt + 2R/(LRC).i = e/(LRC)

d²i/dt² + (R/L) .di/dt + 1/(RC).di/dt + 2/(LC).i = e/(LRC)

d²i/dt² + (1/(RC) + (R/L)) .di/dt + 2/(LC).i = e/(LRC)

Qui est alors bien l'équation proposée.
*****
Pour résoudre une équation du type: d²i/dt² + (1/(RC) + (R/L)) .di/dt + 2/(LC).i = e/(LRC)

a) On commence par chercher les solutions avec le second membre = 0, soit donc de :

d²i/dt² + (1/(RC) + (R/L)) .di/dt + 2/(LC).i = 0

Et on arrive à quelque chose de la forme :

i = e^(-alpha.t) * (A.cos(wt) + B.sin(wt))

(alpha et w étant fonction de R,Let C)
***
b) on cherche ensuite une solution particulière de l'équation complète, soit de : d²i/dt² + (1/(RC) + (R/L)) .di/dt + 2/(LC).i = e/(LRC)

Ici, c'est facile, si on prend comme solution la valeur de i tirée de 2/(LC).i = e/(LRC), soit donc i = e/(2R), alors i esr cste, di/dt et d²i/dt² sont alors nuls.µ

... Et donc i = e/(2R) satisfait bien l'équation d²i/dt² + (1/(RC) + (R/L)) .di/dt + 2/(LC).i = e/(LRC)

On dit que i = e/(2R) est une solution particulière de l'équation d²i/dt² + (1/(RC) + (R/L)) .di/dt + 2/(LC).i = e/(LRC)
***
c) Les solutions générales de l'équation d²i/dt² + (1/(RC) + (R/L)) .di/dt + 2/(LC).i = e/(LRC) (c'est à dire l'ensemble de toutes les solutions possible à l'équation), sont la somme des solutions trouvées en a et en b.

---> Les solutions générales de l'équation d²i/dt² + (1/(RC) + (R/L)) .di/dt + 2/(LC).i = e/(LRC) sont :

i(t) = e^(-alpha.t) * (A.cos(wt) + B.sin(wt)) + e/(2R)

Les constantes A et B se déterminent à partir des conditions initiales.
*****

Tu remarqueras qu'il a une erreur dans la solution.

Le terme "ajouté" comme tu dis soit E/(RLC) dans ta solution ne peut en aucun cas être correct.

En effet, la dimension de E/(RLC) n'est pas celle d'un courant ... et donc ta solution n'est pas homogène ... et par conséquent obligatoirement fausse.

Par contre, le terme à ajouter (comme montré dans ma solution ci-dessus) est E/(2R) ... qui lui a bien les dimensions d'une intensité de courant.

:zen:

[ThekamikazeFou]

Ok merci beaucoup :)

Mais qu'appelle tu p et z ?

C'est assez compliquer a comprendre pour ma part. En effet je trouve ca assez "scandaleux" de bosser sur ce genre d'équation différentiel en physique sans en avoir encore fait en math, du coup on se melange beaucoup et on ne comprend pas vraiment ce que signifie solution particuliere etc ( appart les equa diff du lycée... )

Merci en tout cas!