Equation différentielle de second ordre avec second membre

par **biboune77** » 18 Avr 2006, 08:34

Bonjour,

J'ai fait un DUT informatique et je prépare des concours. Le problème c'est que en maths on a pas fait les équations différentielles :(. J'ai plus bcp de souvenir de la terminale, donc j'ai besoin d'aide.

Je lis des milliers de cours depuis vendredi sans succès ... C'est souvent raccourcis, mal expliqué ...

Voici un exemple :

Ay'' + By' +Cy = 3x + 2

Avec 2 conditions initiales ...

J'ai vu qu'il fallait d'abord résoudre :

Ay'' + By' +Cy =0 avec une équation caractéristique qui est :
Ar² + Br + C=0

Dans ce cas je trouve 2 racines r1 et r2 et nje fais quoi ? :triste:

Merci devotre aide

par **Touriste** » 18 Avr 2006, 10:09

Salut,

biboune77 a écrit:J'ai vu qu'il fallait d'abord résoudre :

Ay'' + By' +Cy =0 avec une équation caractéristique qui est :
Ar² + Br + C=0

Dans ce cas je trouve 2 racines r1 et r2 et nje fais quoi ?

Les solutions de ton équation homogène (Ay'' + By' +Cy =0) sont de la forme

où

et

sont des constantes.

par **biboune77** » 18 Avr 2006, 10:28

Merci de ta réponse

Mais cela me sert à quoi ? A quoi sert le second membre ?

par **Pythales** » 18 Avr 2006, 10:33

Cherche une solution particulière de la forme y=ax+b, et par identification tu détermines a et b. C'est élémentaire

par **Touriste** » 18 Avr 2006, 10:33

Pour résoudre une équation du second degré, le principe général est le suivant :
- on résoud l'équation homogène (c'est-à-dire ...=0). On note y_h la solution (il y a des constantes indéterminées dans cette solution).
- on donne une solution particulière pour l'équation avec second membre. On note y_p cette solution.
Alors y=y_h+y_p sera solution de l'équation de départ. On détermine les constantes avec les conditions initiales.

par **biboune77** » 18 Avr 2006, 10:37

Merci de vos réponses

Cela veut dire qu'il faut que je calcul les solutions de :

Ay'' + By' + Cy = 2x +3

Mais on tourne en rond non ?

par **Touriste** » 18 Avr 2006, 10:43

biboune77 a écrit:Merci de vos réponses

Cela veut dire que je vais obtenir une solution du type :

y = (l'équation avec K1 et K2) + (Le second membre) ?

Je suppose que tu voulais dire "la solution avec K1 et K2" au lieu de "l'équation avec K1 et K2". Ensuite, ce n'est pas le second membre qu'il faut rajouter. Fais ce que t'a dit Pythales. Tu poses

. Tu calcules

. Il te faut ensuite choisir les bonnes valeurs pour a et b de façon à ce que

. Dis-nous ce que tu trouves.

biboune77 a écrit:Et ensuite pr les constantes j'utilise les conditions initiales ?

Oui.

par **biboune77** » 18 Avr 2006, 10:45

J'essaye ...

Pourquoi on prend yp = ax+b ? C'est une règle ?

Donc j'obtiens :

yp(t)=ax+b
yp'(t)=a
yp''(t)=0

A*0 + B*a + C*(ax+b) = 3x+2
B*a + C*(ax+b) = 3x +2

Ca donne une équation à 2 inconnus ? Je bidouille pour m'en sortir ?

par **Touriste** » 18 Avr 2006, 11:00

Tu trouves une égalité entre deux polynômes. D'où la question : quand est-ce que deux polynômes sont égaux ?

par **biboune77** » 18 Avr 2006, 11:49

Ok, je commence à comprendre et maintenant comment procéder ? Utilise on les conditions initiales ?

par **Touriste** » 18 Avr 2006, 11:51

Tu as réussi à t'en sortir avec cette égalité :

?

par **biboune77** » 18 Avr 2006, 11:55

non :marteau:

par **Touriste** » 18 Avr 2006, 12:04

En ordonnant les termes, tu peux écrire

sous la forme

. Ensuite, tu dois savoir que deux polynômes sont égaux si et seulement si tous leurs coefficients sont égaux. Tu en déduis donc les deux équations suivantes par identification :

Tu dois maintenant pouvoir achever le calcul.

par **biboune77** » 18 Avr 2006, 12:13

Il y a une erreur NON ?

Moi j'obtiens : Cax +(Cb+Ba) = 3x-2

On a Ca = 3 <=> a=3/C
On a Cb + Ba = -2 <=> b=(-2 - 3B/C)/C
<=> b=(-2C-3B)/C²

Est ce correct ?

par **Touriste** » 18 Avr 2006, 12:34

biboune77 a écrit:Il y a une erreur NON ?

Oui, désolée :briques: (je viens de corriger mon précédent post)

biboune77 a écrit:Moi j'obtiens : Cax +(Cb+Ba) = 3x-2

OK avec 3x+2. 1 partout pour les erreurs !!

biboune77 a écrit:On a Ca = 3 a=3/C
On a Cb + Ba = -2 b=(-2 - 3B/C)/C
b=(-2C-3B)/C²

Est ce correct ?

OK en remplaçant "-2" par "2".

par **biboune77** » 18 Avr 2006, 12:39

Pour conclure, la solution de mon équation est :

y(x) = (3/C)x + (2C-3B)/C² ?

Derniere question : Comment savoir que c'est de la forme ax+b ?

Merci bcp de votre aide

PS : avez vous un exemple pour que je m'entraine ?

par **Touriste** » 18 Avr 2006, 12:48

biboune77 a écrit:Pour conclure, les solutions de monéquation est la fonciton :
y(x) = (3/C)x + (2C-3B)/C² ?

Attention, tu as juste la solution particulière ici. La solution de ton équation de départ est

Il reste ensuite à déterminer les constantes K_1 et K_2 à partir des conditions initiales.

biboune77 a écrit:Derniere question : Comment savoir que c'est de la forme ax+b ?

Quand ton 2e membre est un polynôme, tu cherches une solution particulière de la même forme (polynôme de même degré) en mettant des coefficients indéterminés. Par exemple,
2e membre = 3x+5 => solution particulière = ax+b
2e membre = x^2+2x+5 => solution particulière = ax^2+bx+c
2e membre = x^3+2 => solution particulière = ax^3+bx^2+cx+d

biboune77 a écrit:avez vous un exemple pour que je m'entraine ?

Dis-moi ce que tu trouves pour cette équation :

par **biboune77** » 18 Avr 2006, 13:15

J'ai trouvé donc sans condition initiale :

y(x)=K1*e(-3x) + K2*e(2x) + (3x -2/3)

Est ce correcte ?

Existe il des cas particuliers ? Si ce n'est pas un polynome ?

par **Touriste** » 18 Avr 2006, 13:20

biboune77 a écrit:J'ai trouvé donc sans condition initiale :

y(x)=K1*e(-3x) + K2*e(2x) + (3x -2/3)

Est ce correcte ?

Tu t'es trompé dans ta solution particulière. Peux-tu me donner les détails de ton calcul ?

par **biboune77** » 18 Avr 2006, 13:27

Petite erreur

y(x)=K1*e(-3x) + K2*e(2x) + (x/3 -2/3)

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