Physique, équation différentielle second ordre RLC en paral

[ThekamikazeFou]

bonjour, j'ai un problème, je souhaite m'amélioré dans l'électrocinétique j'ai donc crée ce type de shémas :



on considère que à t0

donc :

or :
(1)

or
(2)


j'ai donc
soit :
.


mais maintenant je suis bloqué, que faire? merci

[ThekamikazeFou]

personne ne serrait capable de m'expliquer comment résoudre ce type de problème?

[hammana]

personne ne serrait capable de m'expliquer comment résoudre ce type de problème?

Il faut tenir compte de la relation

i=i1+i2

Eliminer i puis i2 pour obtenir une équation différentielle du 3ème ordre en i1 à coefficients constants.
Je pense qu'il aurait été péférable de pendre pour inconnues les charges q1 et q2 de C1 et C2.
(i1=dq1/dt, i2=dq2/dt)

[Black Jack]

bonjour, j'ai un problème, je souhaite m'amélioré dans l'électrocinétique j'ai donc crée ce type de shémas :



on considère que à t0

donc :

or :
(1)

or
(2)


j'ai donc
soit :
.


mais maintenant je suis bloqué, que faire? merci

Le premier problème est qu'il n'y a pas de question.

On devine que tu cherches à établir une équation différentielle ... et peut-être ensuite la résoudre, mais :

On ne sait pas quelle est la variable.

Cherches-tu à exprimer i ou bien i1 ou bien i2 ou bien U ?

Il subsiste aussi d'autres questions sur les conditions initiales car en l'occurence dire que "on considère que à t0" n'est pas suffisant dans ce cas pour que les conditions initiales soient déterminées.

:zen:

[ThekamikazeFou]

C'est un exercice que j'ai purement inventé, et je souhaite trouve i(t) puis u(t) pour ainsi savoir de qu'elle type de regime il s'agit.
Mais a ce que j'ai compris avec un tel circuit j'ai une equation différentiel du troisieme ordre?
Hum pas facile... Je sais que j'ai i=i1+i2 mais si je fais cela j'ai une equation avec 3 inconnues qui sont les trois intensités :/

Donc je bloque un petit peut..

[Black Jack]

C'est un exercice que j'ai purement inventé, et je souhaite trouve i(t) puis u(t) pour ainsi savoir de qu'elle type de regime il s'agit.
Mais a ce que j'ai compris avec un tel circuit j'ai une equation différentiel du troisieme ordre?
Hum pas facile... Je sais que j'ai i=i1+i2 mais si je fais cela j'ai une equation avec 3 inconnues qui sont les trois intensités :/

Donc je bloque un petit peut..

On peut faire (calculs non vérifiés)

Avec Z1 l'impédance du r + C2
et avec Z2, l'impédance du R + C1 + L

Z1 = R + pL + 1/(pC1) = (1 + pRC1 + p²LC1)/(pC1)

Z2 = r + 1/pC2 = (1 + prC2)/(pC2)

Impédance vue du générateur :
Ztotal = R + (Z1 // Z2)

Ztotal = R + ((1 + pRC1 + p²LC1)(1+prC2)/(p²C1C2))/[(1 + pRC1 + p²LC1)/(pC1) + (1 + prC2)/(pC2)]

Ztotal = R + ((1 + pRC1 + p²LC1)(1+prC2))/[(1 + pRC1 + p²LC1).pC2 + (1 + prC2).pC1]

Ztotal = R + (1 + pRC1 + p²LC1 + prC2 + p²RrC1C2 + p³rLC1C2)/(pc2 + p²RC1c2 + p³LC1C2 + pC1 + p²rC1C2)

Ztotal = R + (1 + p(RC1+rC2) + p²(RrC1C2 + LC1) + p³rLC1C2)/(pc2 + p²RC1c2 + p³LC1C2 + pC1 + p²rC1C2)

Ztotal = (pRc2 + p²R²C1C2 + p³LRC1C2 + pRC1 + p²RrC1C2 + 1 + p(RC1+rC2) + p²(RrC1C2 + LC1) + p³rLC1C2)/(pc2 + p²RC1c2 + p³LC1C2 + pC1 + p²rC1C2)

Ztotal = (1 + p(2RC1+rC2+RC2) + p²(2RrC1C2 + LC1 + R²C1C2) + p³(rLC1C2+LRC1C2)) /(p³LC1C2 + p²(rC1C2 + RC1c2) + p(C1+C2))

i = E/Ztotal

i = E * (p³LC1C2 + p²(rC1C2 + RC1c2) + p(C1+C2))/[1 + p(2RC1+rC2+RC2) + p²(2RrC1C2 + LC1 + R²C1C2) + p³(rLC1C2+LRC1C2)]

[1 + p(2RC1+rC2+RC2) + p²(2RrC1C2 + LC1 + R²C1C2) + p³(rLC1C2+LRC1C2)].i = 0 (puisque E = cte et donc ses dérivées sont nulles)

(rLC1C2+LRC1C2).d³i/dt³ + (2RrC1C2 + LC1 + R²C1C2).d²i/dt² + (2RC1+rC2+RC2).di/dt + i = 0

On a l'équation différentielle en i(t)

La résolution litérale est ennuyeuse et longue, mais si on possède les valeurs des composants (R, r ...), alors, il suffit de résoudre l'équation du 3ème degré (même à la calculette):
(rLC1C2+LRC1C2).p³ + (2RrC1C2 + LC1 + R²C1C2).p² + (2RC1+rC2+RC2).p + 1 = 0

Les valeurs des racines (soit 3 réelles, soit 1 réelle et 2 complexes conjuguées) permettent d'écrire directement l'expression de i(t) ... qui aura 2 constantes d'intégration qu'on doit déterminer par les conditions initiales ... qui ne sont pas correctement définie par ton énoncé.

:zen:

[ThekamikazeFou]

je vais annalisé ton résultat dans quelques minutes, mais avec ce type de shémas on à forcément une équation différentiel du 3eme ordre?
je n'ai jamais travail sur le 3eme ordre :(
merci énormément ! je vais vérifié si le résultat tien la route :)

est on aussi obligé d'utilisé l'impédance du circuit alors que nous sommes dans un régime à courant continue?

[ThekamikazeFou]

Hum ton raisonnement semble logique et correct mais il y a quelques trucs qui m'embête.
en premiere, qu'appelle tu p ?
ensuite que signifie Z1 // Z2 ? simplement Z1/Z2 ?
et pour terminer je ne comprends pas comment tu est arrivé à l'équation différentiel. enfait comment tu as eut les dérive 1, 2eme, et 3eme de i .
en gros comment est tu passé de cela :
[1 + p(2RC1+rC2+RC2) + p²(2RrC1C2 + LC1 + R²C1C2) + p³(rLC1C2+LRC1C2)].i = 0

à cela :
(rLC1C2+LRC1C2).d³i/dt³ + (2RrC1C2 + LC1 + R²C1C2).d²i/dt² + (2RC1+rC2+RC2).di/dt + i = 0

i*p = di/dt?
i*p² = di²/dt² ?

merci énormément !

[Black Jack]

Hum ton raisonnement semble logique et correct mais il y a quelques trucs qui m'embête.
en premiere, qu'appelle tu p ?
ensuite que signifie Z1 // Z2 ? simplement Z1/Z2 ?
et pour terminer je ne comprends pas comment tu est arrivé à l'équation différentiel. enfait comment tu as eut les dérive 1, 2eme, et 3eme de i .
en gros comment est tu passé de cela :
[1 + p(2RC1+rC2+RC2) + p²(2RrC1C2 + LC1 + R²C1C2) + p³(rLC1C2+LRC1C2)].i = 0

à cela :
(rLC1C2+LRC1C2).d³i/dt³ + (2RrC1C2 + LC1 + R²C1C2).d²i/dt² + (2RC1+rC2+RC2).di/dt + i = 0

i*p = di/dt?
i*p² = di²/dt² ?

merci énormément !

R + (Z1 // Z2)
Pour R en série avec (Z1 en parallèle sur Z2)
*****

"Truc" que tu n'as peut-être pas appris.

En sinusoïdal, une inductance L a une impédance Z = jwL et un condensateur de capacité C a une impédance Z = 1/(jwC)

Mais on peut (je ne ferai pas la démo ici), remplacer le "jw" du sinusoïdal par "p" et calculer ainsi les impédances même si on n'est pas en sinusoïdal.
Ce "p" peut être manipulé dans les calculs comme un simple nombre (bien que ce n'en soit pas un)

Donc on a :

une inductance L a une impédance Z = p.L et un condensateur de capacité C a une impédance Z = 1/(p.C) ... même en non sinusoïdal.

Cela simplifie souvent les calculs. En fait, les calculs se fonts comme si on était en sinusoïdal ... même si ce n'est pas le cas.

Une fois les calculs faits, tout à la fin, on remplace p par d/dt, p² par d²/dt² , p³ par d³/dt³ ... (ce sont des dérivées 1ere, seconde, troisième ...)

Et on a arrive ainsi, souvent facilement, à l'équation différentielle cherchée.
*****

Mais évidemment, si cette méthode n'a pas été enseignée, on ne devrait pas pouvoir l'utiliser.

:zen:

[ThekamikazeFou]

Ok je comprends, mais c'est beaucoup plus simple que d'utiliser la loi des mailles et des noeuds !
je pensais qu'on ne pouvais utilisé jw que en sinusoidale !
derniere questions ce calcul (le premier)

Ztotal = R + ((1 + pRC1 + p²LC1)(1+prC2)/(p²C1C2))/[(1 + pRC1 + p²LC1)/(pC1) + (1 + prC2)/(pC2)]

représent Ztotal = R + Z1 + Z2 ?

à mon avi en DS on ne risque pas d'avoir un tel circuit, mais si c'est le cas j'utiliserais cette méthode sans aucun doute !
merci encore :)

[Black Jack]

Ok je comprends, mais c'est beaucoup plus simple que d'utiliser la loi des mailles et des noeuds !
je pensais qu'on ne pouvais utilisé jw que en sinusoidale !
derniere questions ce calcul (le premier)

Ztotal = R + ((1 + pRC1 + p²LC1)(1+prC2)/(p²C1C2))/[(1 + pRC1 + p²LC1)/(pC1) + (1 + prC2)/(pC2)]

représent Ztotal = R + Z1 + Z2 ? NON
Z total = R + (Z1 // Z2) = R + [Z1.Z2/(Z1+Z2)]


à mon avi en DS on ne risque pas d'avoir un tel circuit, mais si c'est le cas j'utiliserais cette méthode sans aucun doute ! merci encore

Oui, mais si cela n'a pas été enseigné ... tu ne devrais pas pouvoir.

:zen:

[ThekamikazeFou]

que je suis bête... en effet je fait le diviseur de courant ! mais je débute avec tout ce qui est impédance, admitance etc ... :)

et utilisé une méthode qui n'a pas été enseigné en cours signifie qu'on a approfondi ses connaissances sur le domaine, qu'on s'est renseigné, cela ne peut pas être pénalisé surtout si le résultat est correct il me semble. d'autant plus qu'on nous surnote, donc utilisé une méthode qui sors de l'ordinaire pourrait plaire au correcteur je pense, enfin j’espère, j'aimerais bien même ! :)

[hammana]

que je suis bête... en effet je fait le diviseur de courant ! mais je débute avec tout ce qui est impédance, admitance etc ...

et utilisé une méthode qui n'a pas été enseigné en cours signifie qu'on a approfondi ses connaissances sur le domaine, qu'on s'est renseigné, cela ne peut pas être pénalisé surtout si le résultat est correct il me semble. d'autant plus qu'on nous surnote, donc utilisé une méthode qui sors de l'ordinaire pourrait plaire au correcteur je pense, enfin j’espère, j'aimerais bien même !

Black Jack propose d'utiliser la transformation de Laplace.

Extrait de Wikipédia:
"La transformée de Laplace ...tient compte des conditions initiales et peut ainsi être utilisée en théorie des vibrations mécaniques ou en électricité dans l'étude des régimes forcés sans négliger le régime transitoire."

En ce qui concerne les conditions initiales, il est normal d'admettre qu'aun moment où on ferme l'interrupteur les condensateurs sont déchagrés, i1(0)=0, i2(0)=E/(R+r)

Il serait intéressant, et instructif, de se donner des valeurs numériques pour les éléments du circuit, et de faire les calculs numériques avec tracé des courbes de variation de i1 et i2.

[ThekamikazeFou]

Je veux bien essayer mais je ne sais absolument pas comment resoudre une équation differentielle du 3eme ordre ...
La transformation de laplace dis tu?! Je ferais surment cela apres avoir finis les regimes sinusoidale forcé, mais on n'aurait du nous le dire directement je trouve cela plus simple que d'utiliser la loi des maille et des noeuds

[Black Jack]

Je veux bien essayer mais je ne sais absolument pas comment resoudre une équation differentielle du 3eme ordre ...
La transformation de laplace dis tu?! Je ferais surment cela apres avoir finis les regimes sinusoidale forcé, mais on n'aurait du nous le dire directement je trouve cela plus simple que d'utiliser la loi des maille et des noeuds

Oui, parfois plus simple, mais pas toujours.

Bien comprendre les lois des mailles et des noeuds reste indispensable.

:zen: