Un peu d'algèbre multilinéaire...

[charlee]

Bonjour tout le monde,

je vais commencer par quelques définitions afin de bien exposer mon problème.

Un tenseur d'ordre N est un tableau multidimensionnel dont chaque élément est accessible via N indices . Ce tenseur est noté et chacun des ses éléments est noté . Un tenseur d'ordre 0 est donc un scalaire, un tenseur d'ordre 1 est un vecteur, un tenseur d'ordre 2 est une matrice, un tenseur d'ordre 3 est un "cube de données", etc... Chaque dimension est appelée n-mode en référence au nième indice du tenseur.

La dépliante d'un tenseur dans une direction n-modale est notée où . Elle est composée des Mn vecteurs colonnes In-dimensionnels obtenus en fixant les N-1 indices en faisant varier l'indice n-modal de 1 à . Si on considère telle que :

, , , , , , ,

nous avons :





On peut remarquer lorsque l'ordre du tenseur est N = 2, la dépliante dans le 2-mode d'une matrice est égale à sa transposée :



Mon problème est de trouver des matrices permettant de mettre en relation des dépliantes dans différents n-modes ou de prouver qu'il n'est pas possible de les mettre en relation : , est ce qu'il existe P et Q tels que :



Je cherche pour commencer un exemple avec N = 2 mais n'arrive pas à trouver de solution alors qu'il me faudrait une démo pour N = 3... Par avance merci.