Un peu d'algèbre

[capitaine nuggets]

Bonjour, j'aurai voulu déterminer l'ensemble des homomorphismes de dans , où désigne un groupe fini. Déjà, si j'ai bon, on parle de comme étant le groupe . Ensuite, j'ai du mal à voir comment on peut éventuellement déterminer de tels morphismes (s'ils existent) : etant fini et étant d'ordre infini... . Puis j'ai du mal à comprendre, mais si on demande de dans , est-ce que cela signifie que pour tout entier dans , on demande qu'il ait un antécédent ? (i.e. demande-t-on la surjectivité ?). Des suggestions ?

[zygomatique]

salut

soit f un morphisme de (G, +) dans (Z, +)

soit e le neutre de G ... que vaut f(e) ?

soit g un élément de G et -g son "inverse"

f(g) + f(-g) = ?


que vaut f(ng) ?

[capitaine nuggets]

salut

soit f un morphisme de (G, +) dans (Z, +)

soit e le neutre de G ... que vaut f(e) ?

soit g un élément de G et -g son "inverse"

f(g) + f(-g) = ?


que vaut f(ng) ?

Alors f(e)=1 et f(g)+f(-g)=0 (Dois-je prouver ces deux égalités ?).
Par contre, j'ai du mal à comprendre quand vous écrivez f(ng), ne voulez vas pas dire plutôt si G est un groupe multiplicatif ?

[zygomatique]

Alors f(e)=1 et f(g)+f(-g)=0 (Dois-je prouver ces deux égalités ?)

f(e) = ... ?

et qu'est-ce qui prouve ces deux égalités ?

tu choisis la notation multiplicative mais il semble préférable de choisir la notation additive ....

[capitaine nuggets]

f(e) = ... ?

et qu'est-ce qui prouve ces deux égalités ?

tu choisis la notation multiplicative mais il semble préférable de choisir la notation additive ....

Pourquoi semble-t-il préférable de choisir un notation additive ?
Est-ce parce que est abélien et que est un morphisme de groupes, que la loi dans est commutative ?

Adoptons ton idée : posons + cette loi.

est un morphisme de groupes donc pour dans , on a .

En particulier, piur , on a d'où
(j'me suis trompé de neutre : j'avais noté 1 celui de G...).

Pour , on a

Pour un entier naturel, (je le montre par récurrence).

[zygomatique]

ok que pensez-de l'application n --> nf(x) de Z dans Z ?

or G est fini donc .....

[capitaine nuggets]

ok que pensez-de l'application n --> nf(x) de Z dans Z ?

or G est fini donc .....

Elle est injective puisque pour dans , implique que ;

Mais pas surjective (je ne vois pas comment le prouver).

[zygomatique]

l'injectivité me suffit ....

sauf que maintenant G est fini donc pour tout g dans G il existe k tel que kg = e

(k est l'ordre de g) ....

[capitaine nuggets]

l'injectivité me suffit ....

sauf que maintenant G est fini donc pour tout g dans G il existe k tel que kg = e

(k est l'ordre de g) ....

Heu, j'ai un peu du mal à voir où l'on veut aller...

[zygomatique]

G est fini donc tout élément g de G vérifie kg = e où k est l'ordre de g

donc f(kg) = f(e) = 0

d'autre part f(G) est un groupe .....

[zygomatique]

Heu, j'ai un peu du mal à voir où l'on veut aller...

oui je te donne des idées et des propriétés un peu en vrac .... pour te laisser arriver à la solution ....


G est fini donc tout élément g de G vérifie kg = e où k est l'ordre de g

donc f(kg) = f(e) = 0

d'autre part f(G) est un groupe .....

[capitaine nuggets]

G est fini donc tout élément g de G vérifie kg = e où k est l'ordre de g

donc f(kg) = f(e) = 0

d'autre part f(G) est un groupe .....

f(kg)=kf(g)=0 donc f(g)=0, que que soit g.

Je ne vois pas bien comment ni pourquoi utiliser l'hypothèse f(G) est un groupe. ..

[zygomatique]

G est fini et f(G) est un groupe donc f(G) est un groupe fini ....

[capitaine nuggets]

G est fini et f(G) est un groupe donc f(G) est un groupe fini ....

oui, je suis d'accord, mais je ne sais pas où on va donc je suis un peu dans le brouillard...

[zygomatique]

ben quels sont les sous-groupes finis de (Z, +) ?

[capitaine nuggets]

ben quels sont les sous-groupes finis de (Z, +) ?

tous les groupes de la forme (nZ,+)

[zygomatique]

tous les groupes de la forme (nZ,+)

(nZ, +) est fini ?

(voir à 19h24 et 19h49) ....

[capitaine nuggets]

(nZ, +) est fini ?

(voir à 19h24 et 19h49) ....

Non, il n'est pas fini, sauf 0Z={0}

[zygomatique]

Non, il n'est pas fini, sauf 0Z={0}

conclusion ?

[capitaine nuggets]

Si il existe un morphisme de G vers Z alors en fait c'est le morphisme nul i.e. celui qui à tout élément g de G associe 0.