Un peu d'algèbre

[zygomatique]

Si il existe un morphisme de G vers Z alors en fait c'est le morphisme nul i.e. celui qui à tout élément g de G associe 0.

:biere: ..................

[capitaine nuggets]

Mais du coup, je ne vois pas pourquoi on a montré que :
- f(e)=0 ;
- f(x)+(-x)=0 ;
- f(nx)=nf(x) ;
- L'application de Z dans Z définie pour tout n par nf(x).

N'aurais-t-on pas pu directement donné l'argument que le seul groupe fini de (Z,+) est {0} pour conclure ?

[zygomatique]

oui mais comme tu n'en avais pas l'idée j'ai voulu te faire retrouver le fait que f(G) est fini ....puis ensuite conclure .....

[capitaine nuggets]

oui mais comme tu n'en avais pas l'idée j'ai voulu te faire retrouver le fait que f(G) est fini ....puis ensuite conclure .....

Ah ok, je pense avoir compris maintenant, merci pour votre aide :+++:

Et que se passerait-il si par exemple .

Deux questions pour confirmer deux choses :
- Si on a une application f d'un ensemble E dans un ensemble F et que E ou F est un groupe, f vérifie f(xy)=f(x)f(y) alors F ou E est bien un groupe ?

[capitaine nuggets]

oui mais comme tu n'en avais pas l'idée j'ai voulu te faire retrouver le fait que f(G) est fini ....puis ensuite conclure .....

Ah ok, je pense avoir compris maintenant, merci pour votre aide :+++:
Et que se passerait-il si par exemple .

Deux questions pour confirmer ce que j'ai pu retenir :
- Si on a une application f d'un ensemble E dans un ensemble F et que E ou F est un groupe, f vérifie f(xy)=f(x)f(y) alors F ou E est bien un groupe ?

[zygomatique]

pour f : (Q, +) --> (Z, +)

pour tout z entier f(z) = f(z.1) = zf(1)

ensuite qf(p/q) = f(p)

à toi de poursuivre



si f :: E --> F

si E ou F est un groupe on peut sous certaines conditions transporter la structure à E ou à F

remarque :: écrire f(xy) = f(x)f(y) signifie qu'il y a donc une "multiplication" dans E (par définition de l'écriture xy) et dans F (par définition de l'écriture f(x)f(y))

....

[capitaine nuggets]

pour f : (Q, +) --> (Z, +)

pour tout z entier f(z) = f(z.1) = zf(1)

ensuite qf(p/q) = f(p)

à toi de poursuivre



si f :: E --> F

si E ou F est un groupe on peut sous certaines conditions transporter la structure à E ou à F

remarque :: écrire f(xy) = f(x)f(y) signifie qu'il y a donc une "multiplication" dans E (par définition de l'écriture xy) et dans F (par définition de l'écriture f(x)f(y))

....

Si qf(p/q)=f(p) alors q divise f(p), pour tous p,q. Donc seul le morphisme nul convient là aussi ?

[capitaine nuggets]

pour f : (Q, +) --> (Z, +)

pour tout z entier f(z) = f(z.1) = zf(1)

ensuite qf(p/q) = f(p)

à toi de poursuivre

Si qf(p/q)=f(p) alors q divise f(p), pour tous p,q. Donc seul le morphisme nul convient là aussi ?

[zygomatique]

il semblerait bien ...

si F est un groupe alors dans E on peut poser qui définit une loi de groupe sur E ....

si E est un groupe on pose f(x)f(y) = f(xy) pour faire de F un groupe


enfin voir et revoir et vérifier .... mais ça me semble aller ....

[capitaine nuggets]

Ok, je regarderais ça.

Du coup, il me vient une question :
On a montrer que si :
- on a un morphisme d'un groupe fini G dans (Z,+) ;
- on a un morphisme de (Q,+) dans (Z,+) ;
alors ce morphisme est nul.
est-ce que (Q,+) est un groupe particulier de G ((Q,+) est-i engendré par un ensemble fini ?) ?

[zygomatique]

ta question (la dernière phrase) n'est pas claire ?

[capitaine nuggets]

ta question (la dernière phrase) n'est pas claire ?

Est-ce qu'il existe une ensemble fini tel que ?

J'ai pris un exemple avec .
Alors on a (si je ne dis pas de bêtises...).

[zygomatique]

Q est un Z-module de dimension infinie sur Z

on ne peut l'engendrer par un ensemble fini (il faut par exemple tous les 1/p avec p premiers)

voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Module_sur_un_anneau#Propri.C3.A9t.C3.A9s_de_finitude

[Doraki]

Euh c'est quoi la dimension d'un Z-module ??

[zygomatique]

voir le lien ...

est un Z module de dimension n sur Z

voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Module_libre

[capitaine nuggets]

Q est un Z-module de dimension infinie sur Z

on ne peut l'engendrer par un ensemble fini

Et comment on peut prouver ce résultat ?

[L.A.]

Bonsoir,

Si tu considères un nombre fini d'éléments de Q, dont les dénominateurs sont d_1,...,d_n,
alors le sous-groupe, ou sous-Z-module engendré par ces éléments sera contenu dans 1/(d_1...d_n) Z, donc pas égal à Q.
En fait, c'est juste ton exemple avec plus d'éléments...

[capitaine nuggets]

Bonsoir,

Si tu considères un nombre fini d'éléments de Q, dont les dénominateurs sont d_1,...,d_n,
alors le sous-groupe, ou sous-Z-module engendré par ces éléments sera contenu dans 1/(d_1...d_n) Z, donc pas égal à Q.
En fait, c'est juste ton exemple avec plus d'éléments...

Ah oui, en fait c'est tout bête !
Merci beaucoup à vous tous pour vos explications & aides :+++:

[Doraki]

voir le lien ...

est un Z module de dimension n sur Z

voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Module_libre

Q n'est pas un Z-module libre.