Petite question

[Fanfan]

Bonjour à tous,
pourquoi (1²+2²+...+n²)=[n(n+1)(2n+1)]/6 ?

[Fanfan]

je l'ai trouvé dans mon cours, c'est donc une "formule", elle n'est déduite d'une autre formule ?

[Joker62]

Non c'est pas déduit
ça se démontre par récurrence comme dit plus haut
Et ça se fait en terminal.

[Joker62]

J'aimerai bien savoir comment :(

[Nightmare]

Bonjour

On peut démontrer que pour tout n :
d'où le résultat.

[fahr451]

bonjour
pour p et n fixés


(p parmi p) +( p parmi p+1) + (p parmi p+2) +...+(p parmi n) =
(p+1 parmi n+1)
démo par télescopage en utilisant
( p parmi k) = -(p+1 parmi k) +(p+1 parmi k+1)

appliqué à p = 1 on trouve la somme des entiers
à p = 2 carrés
à p =3 des cubes (les deux autres sommes ayant été calculées avant)
etc

[serge75]

Autre preuve constructive : chercher un polynôme de degré inférieur ou égal à 3 tel que P(X+1)-P(X)=X². (ça te fait un système de 4 éq pour 4 inconnues - les coeff du polynôme - à résoudre ; en fait une des équations saute et tu n'as plus que trois équations > le coefficient constant est alors libre et tu prends par exemple 0).
Tu écris alors ta somme des k² comme une somme télescopique avec ce polynôme P et tu trouve qu'elle fait donc P(n+1)-P(0).

NB : pour généraliser la méthode et montrer systématiquement qu'un tel polynôme existe il faut passer par l'algèbre linéaire