Petite intégrale, ou petite équation différentielle ?

[Wirenth]

Bonjour à tous,


J'ai un petit problème à résoudre, qui fait probablement appel à une équation différentielle ou à une simple intégrale, mais que je n'arrive pas à mettre en place... Pouvez-vous m'aider ?

Il s'agit de la vitesse de vidange (gravitaire) d'un réservoir, importante au début, puis de plus en plus faible à mesure que le niveau descend.

Soit, donc, un réservoir de hauteur h0, de section S, avec une tuyauterie à sa base, de section s. On va appeler h(t) le niveau d'eau à l'instant t, et c'est cela que je souhaite obtenir par le calcul.

- La vitesse de sortie du fluide est de la forme d'une chute libre : v² = 2.g.h. Plus précisément, v(t) = racine [2.g.h(t)]
- Connaissant la section s du tuyau de sortie, je peux calculer le débit : q(t) = s.v(t).
- Connaissant la section S du réservoir, je peux calculer la vitesse de descente du niveau d'eau : V(t) = v(t).s/S

Et avec mes maigres connaissances du calcul intégral, je peux même avancer un tout petit peu en déclarant que :
- dh = V(t).dt (enfin, plutôt -V(t).dt puisque le niveau baisse)

...et je m'arrête là car je ne sais pas faire mieux ! La vitesse V(t) dépend du niveau, et le niveau à t+dt dépend de la vitesse (t). Ça doit être très simple pour ceux qui savent faire mais là je bloque...


Pouvez-vous m'aider à trouver la relation qui donne h(t) en fonction de t ?

Merci d'avance pour votre aide,
Wirenth.

[Ben314]

Salut,
En reprenant tes notations, le débit en sortie à l'instant est donc entre l'instant et le volume de liquide évacué est . D'un autre coté, à l'instant le volume dans la citerne est donc le volume évacué entre et est .
Donc soit avec .
Arrivé à ce point on écrit que et, en prenant une primitive des deux membres, on en déduit que donc la constante étant à déterminer par exemple avec la hauteur initiale d'eau dans le réservoir :
La formule n'est bien sûr valable que lorsque : le réservoir est ensuite vide et... le reste... (le problème est que dans les calculs on a divisé par ce qui invalide le raisonnement concernant ce qu'il se passe lorsque )

[Wirenth]

La formule n'est bien sûr valable que lorsque : le réservoir est ensuite vide et... le reste... (le problème est que dans les calculs on a divisé par ce qui invalide le raisonnement concernant ce qu'il se passe lorsque )

Oui, à h(t)=0 le réservoir reste vide, et comme je me place dans un contexte industriel (et non purement mathématique), ta réponse me convient parfaitement !

Comme quoi quand c'est un autre qui fait les calculs, ça semble toujours bien plus simple !! Enfin simple, façon de parler... je vais reprendre cela à tête reposée demain matin, j'y verrai plus clair.

En tout cas un grand merci pour ce calcul !
Wirenth.

[Ben314]

La truc entre parenthèse concernant le "pourquoi" ça déconne au delà d'un certain c'est effectivement plutôt du "pure math", mais par contre le fait qu'il y a deux cas pour h(t), ça c'est du "bien concret" : dans des contexte du même style, ça m'est arrivé de taper un programme "à la va vite" et d'écrire directement qui marche parfaitement bien tant que ne dépasse pas l'instant fatidique où le réservoir est vide donc si on fait que quelque test avec y'a pas de soucis.
Par contre, si par hasard plus tard on réutilise la programme sans (re)réfléchir avec des valeur de pouvant éventuellement dépasser (légèrement) , on risque de mettre des plombes à trouver pourquoi ça déconne (voire pire : ne pas se rendre compte que ça déconne...)

[Wirenth]

Bon, j'ai repris tout cela à tête reposée et j'ai fini par tout comprendre (hé oui à mon âge, on n'est même plus fichu de calculer une dérivée). C'est en voyant que la dérivée de racine de u est égale à u'/2.racine(u) que j'ai pu recoller tous les morceau (poussif, oui, poussif, je sais !).

Et au passage à l'application numérique, il y a pourtant eu une différence importante avec le calcul très très approché que je faisais avec Excel, et qui lui, correspondait très bien à la réalité...

1 jour plous tard, j'ai compris mon erreur (dont l'origine n'était pas mentionnée dans l'énoncé de mon premier post) : mon réservoir se vide d'une certaine hauteur, certes, mais le tuyau de sortie n'est pas au sol ! Donc la constante n'est pas racine(h(0)) mais racine de (h(0)-h(tuyau)), et il faut ajouter à la fin du calcul : h(t) = (bla bla bla)² + h(tuyau).

Et là c'est parfait.


Donc encore une fois, merci pour ton aide, et à bientôt pour de nouvelles aventures (j'ai plein de problèmes de math délirants et non-résolus, je les posterai un de ces jours !).

Wirenth.

[Wirenth]

Bonjour,


Je déterre le message parce que j'ai un autre calcul à faire, sur le même problème. Je reprends le contexte :

- un réservoir, de section S, de hauteur h, avec de l'eau dedans,
- un tuyau de sortie, de section s,
- l'eau qui s'écoule gravitairement par ce tuyau.

La vitesse d'écoulement se calcule par v² = 2.g.h, ce qui me permet de calculer le débit sortant. La première partie du problème était de calculer, sur la durée, l'évolution du niveau, ce que Ben314 fit parfaitement.

La seconde partie du problème est de calculer l'évolution du niveau lorsqu'une pompe apporte de l'eau dans le réservoir (qui continue toutefois de s'écouler gravitairement) :

- la pompe a un débit constant (Q1),
- au début le réservoir est vide, donc h=0 et le débit de sortie (Q2) = 0,
- puis le niveau monte tant que Q1 > Q2 et finit par se stabiliser quand Q2 sera = Q1.

Si j'appelle h(t) le niveau, je peux écrire que :




or

Pour simplifier l'écriture, je reprends

donc

donc

Éh béh là, heu... comment on fait après pour trouver h(t) ???


Merci d'avance pour votre aide !

[Ben314]

Sur le principe, c'est plus ou moins la même chose que dans le premier cas :

XXXXXXXXXXXXXX
où XX est une primitive de et une bijection réciproque (éventuellement locale) de . (vérifie que c'est bien la vision théorique de ce qu'on a fait dans le cas précédent : la seule différence, c'est que la fonction à "primitiver" est plus compliquée)

(à une constante près bien sûr)
Ca signifie donc qu'en fait X X et le fait que permet même de déterminer , mais le problème, c'est qu'on ne peut pas inverser "formellement" la fonction (en tout cas pas uniquement à l'aide des fonction élémentaires ) donc que sur le plan théorique, on ne peut pas écrire autre chose que .
Par contre, au niveau "pratique", si les valeur des différentes constantes sont connues, on peut parfaitement tracer le graphe de : il suffit de tracer celui de et d'échanger les rôles des deux axes x et y. Et on peut bien sûr utiliser des méthodes numériques pour déterminer les valeurs numériques de . On doit sans doute aussi pouvoir trouver des équivalents relativement de pour " grand" histoire de voir approximativement à quelle vitesse tend vers sa limite .

P.S. En fait, comme , la fonction (indépendante de ) qu'il faudrait savoir inverser pour écrire , c'est

[Wirenth]

Woatchou ! Là je vais mettre un peu plus de temps à digérer !

Pour l'application numérique, il faut savoir que :
- 'S' = 52,64m²
- 'h0' = 3,218m (c'est le "volume mort" dû à la hauteur du tuyau d'aspiration)
- 's' est considéré = 8,25E-4 m² (c'est la section qui correspond le mieux aux pertes de charges, calculée empiriquement)
- 'Q1' = 40 m3/h

Je vais commencer par faire ce que fait tout bon ingénieur avec les 4 opérations de base : un tableau excel avec une approximation du niveau tous les 1/4 d'heure, puis j'essaierai de faire tourner ton équation.

Un grand merci !