Petite question

par **simplet** » 22 Avr 2006, 15:38

Bonjour,
Dans une correction d'exercice:
On chercher la limite de g(y) quand y tend vers l'infini (y réel).
"On sait qu'une suite g est décroissante (donc a une limite ?), il suffit donc d'étudier la limite de g(n) quand n tend vers l'infini (n entier)."

C'est un passage qui parait intuitif mais je n'arrive pas à l'expliquer.
(la limite d'une suite est la meme que la limite de ses suites extraites? c ca?)

mercii

par **zorg** » 22 Avr 2006, 15:47

Hou la la c'est un peu confus...

Tout d'abord, g c'est une fonction ou une suite ? Je ne comprends pas bien le rapport ensuite avec les suites extraites ?

En ce qui concerne le rapport entre suite et suite extraite.
Si une suite u converge vers une limite alors toutes suites extraites de u convergent vers cette même limite.

Si une suite extraite d'une suite u converge alors la suite u ne converge par forcément. En revanche si la sous-suite des indices pairs

et la sous-suite des indices impairs

convergent vers la même limite l alors la suite

converge vers l.

par **Zebulon** » 22 Avr 2006, 15:50

Salut,
g est décroissante ne suffit pas à dire que g a une limite. Il faut en plus que g soit minorée. Et oui, la limite d'une suite convergente est la même que ses sous-suites.
Mais je ne comprends pas ce que tu fais! Tu as une fonction de y au départ, et si la suite

converge, ça ne suffit pas pour que la fonction g converge.
A+ :lol4: ,
Zeb.

par **Quidam** » 22 Avr 2006, 15:51

simplet a écrit:Bonjour,
Dans une correction d'exercice:
On chercher la limite de g(y) quand y tend vers l'infini (y réel).
"On sait qu'une suite g est décroissante (donc a une limite ?), il suffit donc d'étudier la limite de g(n) quand n tend vers l'infini (n entier)."

C'est un passage qui parait intuitif mais je n'arrive pas à l'expliquer.
(la limite d'une suite est la meme que la limite de ses suites extraites? c ca?)

mercii

Le fait que g(n) soit décroissante ne prouve nullement qu'elle converge.

Et si tu arrives à prouver que g(n) converge, cela ne suffira pas à montrer que g(y) a une limite.

Si tu as autre chose, peut-être ! Par exemple, si tu sais que g est décroissante et que g(n) converge, alors tu dois pouvoir t'en tirer, mais la décroissance de g(n), et même le fait que g(n) a une limite ne suffit pas à montrer que g(y) a une limite !

par **simplet** » 24 Avr 2006, 19:55

(déjà un ptit bonjour à audrey que je n'ai pas vu depuis longtemps :-)

Bon bon...
alors g (définie dans le premier message) est bien nune fonction et non une suite.

(je ne sais pas si ca change qqchose, je pense que non, mais g est une fonction intégrale: g(y)=int(f(x,y=.d[lamda](x) sur R+.)

Et en effet, elle continue, est décroissante ET minorée (par 0): on est tous d'accord pour qu'elle est une limite.

Enfin la question qui pose probleme est:
"déterminer la limite de g(y) quand y tend vers l'infini"

et la réponse:
"il suffit d'étudier la limite de g(n) quand n tend vers l'infini (n entier)"

(Si ca peut aider, la suite f(x,n) converge vers 0 pour tout x>0, et la fonction x->g(x,n) est dominée par une fonction x intégrable)

Je rép^ète ce qui me posait problème: c'est le passage de "déterminer la limite de g(y) quand y tend vers l'infini" à "il suffit d'étudier la limite de g(n) quand n tend vers l'infini (n entier)"

A QUELLE CONDITION PEUT ON FAIRE CA????

merci beuaucoup

par **Quidam** » 24 Avr 2006, 21:37

simplet a écrit:alors g (définie dans le premier message) est bien nune fonction et non une suite.
Et en effet, elle continue, est décroissante ET minorée (par 0): on est tous d'accord pour qu'elle est une limite.

Enfin la question qui pose probleme est:
"déterminer la limite de g(y) quand y tend vers l'infini"

et la réponse:
"il suffit d'étudier la limite de g(n) quand n tend vers l'infini (n entier)"
Je rép^ète ce qui me posait problème: c'est le passage de "déterminer la limite de g(y) quand y tend vers l'infini" à "il suffit d'étudier la limite de g(n) quand n tend vers l'infini (n entier)"

A QUELLE CONDITION PEUT ON FAIRE CA????

Il suffisait de le dire ! S'il est établi, comme tu le dis enfin, que g est une fonction qui a une limite alors la suite

a nécessairement une limite et c'est forcément la même ! Donc, si tu peux trouver à quoi est égale la limite de

, tu obtiens du même coup la limite de la fonction g !

par **zorg** » 24 Avr 2006, 21:58

D'où vraiment la nécessité de poser des énoncés clairs.

par **simplet** » 25 Avr 2006, 19:46

mercii beaucoup

par **simplet** » 26 Avr 2006, 09:56

ah, encore une question toute proche:

" pour étudier la limite de g(y) quand y tend vers l'infini, on étudie la limite de g(yn) quand (yn) est une suite qui tend vers l'infini ".

Cela ressemble beaucoup à la question précédente non? Je redemande donc, à quelles conditions peut-on faire ca?? Faut-il encore s'assurer que g(y) est une limite finie ou infinie) ?? Les hypothèses doivent etre moins fortes non??

par **Zebulon** » 26 Avr 2006, 10:00

Salut Flo!
Je crois que pour celà il faut que g, fonction de y, ait une limite en

et que g soit continue. Alors g et

ont même limite. C'est la caractérisation séquentielle d'une limite.
A+!

par **serge75** » 26 Avr 2006, 10:24

Non, Zébulon, la continuité n'intervient pas.
Il y a ici deux théorèmes :
Le premier, qui présente une implication.
SI une fonction g a une limite L en x0 (L et x0 finis ou pas), alors pour toute suite (y_n) tendant cers x0, la suite g(y_n) tend vers L (j'ai dit tend et non converge, pour le cas où x0 ou L serait infini).

Le second qui est en fait sa réciproque (caractérisation séquentielle de la limite) :
SI pour toute suite (y_n) de limite x0, la suite g(y_n) tend vers L (x0 et L finis ou pas), alors g tend vers L en x0.

l'ensemble des deux théorème (sous forme d'équivalence, donc) s'appelle caractérisation séquentielle de la continuité au point x0 lorsque x0 est un point du domaine et que L=g(x0).
Voili voilou.

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