Petite analyse

[AceVentura]

Bonsoir.
Petite analyse, petit blocage.
Soit f une fonction croissante sur un intervalle telle que . Montrer que f est continue et convexe sur .
Pour la continuité, vraiment pas d'idée.
Pour la convexité, j'avais pensé à prouver l'inégalité (en ayant au préalable montré la continuité) en utilisant le changement d'indice .

Pouvez-vous m'aidez sur la continuité ? Merci.

[Ben314]

Salut,
Ta "formule" , c'est pour un h ? pour tout h? pour un x ? pour tout x ?

[AceVentura]

Oups !
On a donc :
Puis :
Et enfin

(je croyais que tu voulais plus me parler )

[Ben314]

(je croyais que tu voulais plus me parler )

tient donc ??? et pourquoi ça ?

Bon, pour ton problème, c'est pour tout h du premier intervalle et tout x du deuxième ? (je pense que oui, mais le h pourrait être fixé une bonne fois pour toute... mais je pense que dans ce cas, le résultat est faux...)

Même si c'est bien pour tout x et tout h>0 tels que x, x+h et x+2h soient dans ]a,b[, c'est pas gagné.... (ou plutôt, je vois que des trucs pas super simples...)

[Ben314]

Je pense que j'ai une méthode pas "super compliquée" :
Tu prend un c dans ]a,b[.
Comme f est croissante, f(x) admet une limite L lorsque x tend vers c par valeurs supérieures et on a L>=f(c) [supérieur ou égal].
Or, pour tout h>0 suffisement petit pour que x+2h2f(c+h)<=f(c)+f(c+2h)
d'où, en faisant tendre h vers 0, on a 2L<=f(c)+L et donc L<=f(c).
Cela montre que f est continue à droite en c.
Tu procède de même à gauche en c.

[AceVentura]

Et pourtant c'est bien ça !

sont dans l'intervalle
est positive
est croissante

tient donc ??? et pourquoi ça ?

Je n'ai pas eu de réponse à mon précédent sujet

[AceVentura]

N'utilises-tu pas déjà la continuité ?
Tu dit que si h tend vers 0 f(c+h) tend vers L, mais c'est la continuité non ?
f(x) tend vers f(a) lorsque x tend vers a : c'est la continuité en a non ?

[Ben314]

Je n'ai pas eu de réponse à mon précédent sujet

Ouais, mais y'avais trop de calculs, je suis super nul en calculs, et j'aime pas "confirmer" sans être à peu prés sûr.
Si tu veux, je peut te dire que la méthode est la bonne, mais je sais pas si y'a pas quelques "coquilles" qui trainent...

P.S. Pour le h et le x, c'est pas vraiment où ils sont le problème (pour que ça ait du sens, il faut évidement que x, x+h et x+2h soient dans ]a,b[)
Ni le fait que h doive être >0 (pour h=0, l'inégalité ne sert à rien, et pour h0)
Le problème c'est les quantificateurs, c'est à dire est que ta formule dit que :
"On suppose qu'il existe un h tel que, pour tout x...." ou bien
"On suppose que pour tout h et tout x...."
Je pense (assez fort) que c'est la deuxième solution...

[Ben314]

N'utilises-tu pas déjà la continuité ?
Tu dit que si h tend vers 0 f(c+h) tend vers L, mais c'est la continuité non ?
f(x) tend vers f(a) lorsque x tend vers a : c'est la continuité en a non ?

Non, j'utilise la croissance de la fonction pour dire que f admet une limite à droite L en c, mais pour le moment, je n'ai absolument pas affirmé que L=f(c).
Ensuite, je démontre la continuité a droite en c en montrant que L=f(c).

[Ben314]

Tient, temps que j'y pense, je suis allé voir ta réponse à marsmallow sur son exo qui ressemble un peu au tien.
C'est trés sympa de ta part d'aider aussi les autres.
Faudrait juste que tu remplace ton P1=X par un P1=1 (c'est une faute de frappe, j'en fait tout le temps aussi) : vu qu'il sait pas démarrer une récurrence, ça risque de le paumer quand il reviendra...

[AceVentura]

Oui, oui, c'est bien pour tout h , et pour tout x
Je ne vois toujours pas le passage de à .

On utilise pas les égalités et pour passer de l'un à l'autre ?!

PS : c'est normal d'aider les autres, c'est un juste retour des choses

[Ben314]

On utilise pas les égalités et pour passer de l'un à l'autre ?!

Si, c'est bien ça : on a défini L comme la limite à droite en c donc les dux quantités tendent toutes les deux vers L.

P.S. Si tu l'écrit "propre" en TeX ou sur une copie, pense à bien
rajouter h->0+

P.S.2 Je vais me coucher.
Pour terminer, il faut plus ou moins "recopier" le raisonement pour la limite à gauche, mais, comme on n'a pas le droit de prendre h<0, il faut appliquer "la formule" 2f(x+h)<=f(x)+f(x+2h) en prenant x=c-2h de façon à ce que x+2h=c.
Pour la convexité, l'inégalité dont tu parle dans ton premier post est assez immédiate : il suffit de prendre h=(y-x)/2 dans la "formule" (en supposant que x<y)

[AceVentura]

Ok, je vois merci !
C'est le théorème de la limite monotone non ?

soit , admet une limite à droite et à gauche de avec car f est croissante.

Avec la formule on voit que , donc en faisant tendre vers , on voit que . Donc .

J'y arrive merci beaucoup !

[Ben314]

Ok, je vois merci !
C'est le théorème de la limite monotone non ?

Si tu parle du fait que tout fonction monotone admet des limites à droite et à gauche en tout point, je crois effectivement qu'il s'appelle comme ça (en tout cas, ça lui irait bien comme nom....)

[AceVentura]

Ouais, mais y'avais trop de calculs, je suis super nul en calculs, et j'aime pas "confirmer" sans être à peu prés sûr.
Si tu veux, je peut te dire que la méthode est la bonne, mais je sais pas si y'a pas quelques "coquilles" qui trainent...

tant pis