Petit questionnaire sur fonctions C° ;)

[Azuriel]

Voila quelque question, je ne suis pas sur des réponses alors je vous le soumet :

f est continue sur R.

-L'image par f d'un intervalle ouvert est un intervalle ouvert ? (je pense que c'est faux)
-L'image par f d'un segment est un segment ? (je pense que c'est vrai)
-L'image par f d'une partie bornée est une partie bornée ? (je pense que c'est vrai)
- L'image reciproque par f d'un intervalle est un intervalle ?

Vala, on peut aussi se reposer les meme questions mais en supposant cette fois que f est en plus strictement monotone.

[Pavel]

1. faux par exemple x -> x^2 sur [-2, 1[
2. vrai. par théorème du maximum
3. vrai sinon la fonction serait discontinue.
4. faux. La réciproque n'as aucune raison d'exister

Si la fonction est strictement monotone : c'est évident parce que la fonction laisse les bornes
1. vrai
2. vrai
3. vrai
4. vrai car une fonction strictement monotone et continue est bijective (et la réciproque est continue et monotone)

[Flodelarab]

1. faux par exemple x -> x^2 sur [-2, 1[
2. vrai. par théorème du maximum
3. vrai sinon la fonction serait discontinue.
4. faux. La réciproque n'as aucune raison d'exister

Si la fonction est strictement monotone : c'est évident parce que la fonction laisse les bornes
1. vrai
2. vrai
3. vrai
4. vrai car une fonction strictement monotone et continue est bijective (et la réciproque est continue et monotone)

Pour le 2-1) je dirais faux
La fonction partie entière sur l'intervalle ]1,2;1,5[ n'est elle pas un contre exemple ?

[fahr451]

bonsoir
je n 'ai pas trop compris toutes les réponses
1) faux ]-1,1[ -> R

x-> x^2 l 'image est [0,1[

2) vrai car l'image continue d 'un intervalle (connexe) est un intervalle

et l'image continue d'un compact est un compact

et ds R les seuls intervalles compacts sont les segments


3) vrai c ar toute partie bornée est incluse dans un segment et cf 2

4) faux cos R->R
l 'image réciproque de l intervalle {1} est {2kpi , k dans Z} qui n 'est pas un intervalle