Question sur un petit exercice sur les suite

[capitaine nuggets]

Bonjour,

On définit deux suites et sur ainsi :
;


1 - Montrer que est géométrique.
2 - Calculer la limite de , puis celle de .

J'ai montré que est une suite géométrique de premier terme et de raison ; j'ai trouver que converge vers et vers .

Or j'ai eu l'idée de prendre la suite que je définie par .
est constante et vaut , donc j'en ai déduis que converge vers : pourquoi ?

[Skullkid]

Quelques petits détails : tel que tu l'as écrit, ta suite u n'est pas définie, il faudrait par exemple rajouter que u est à termes positifs, ou alors ce qui est probablement écrit dans l'énoncé original : . Le premier terme de v est -ln(2), elle est en effet géométrique de raison 1/2 et converge vers 0. Donc u converge vers 2 comme tu l'as dit.

Pour ce qui est de ta suite t, elle n'est pas constante, elle est arithmético-géométrique () et converge vers ln(2).

[capitaine nuggets]

Quelques petits détails : tel que tu l'as écrit, ta suite u n'est pas définie, il faudrait par exemple rajouter que u est à termes positifs, ou alors ce qui est probablement écrit dans l'énoncé original : . Le premier terme de v est -ln(2), elle est en effet géométrique de raison 1/2 et converge vers 0. Donc u converge vers 2 comme tu l'as dit.

Pour ce qui est de ta suite t, elle n'est pas constante, elle est arithmético-géométrique () et converge vers ln(2).

Non : le fait que u soit bien définie n'est pas clairement énoncé, donc j'ai démontré par récurrence que u est à termes strictement positifs.

Tu peux développer le fait que tn soit arithmético-géométrique : j'aimerais savoir comment tu fais pour obtenir cette relation, parce que je ne vois pas.

[Skullkid]

Non : le fait que u soit bien définie n'est pas clairement énoncé, donc j'ai démontré par récurrence que u est à termes strictement positifs.

Comment peux-tu démontrer que u est à termes strictement positifs si u n'est pas bien définie ? Je crois que tu n'as pas compris l'objet de ma remarque. Il est au mieux maladroit, au pire incorrect de parler de "la suite u définie sur N par u0 = 1 et " parce que dans ta relation de récurrence, n'est pas défini de manière univoque. Par exemple tu n'as aucun moyen de savoir si u1 vaut sqrt(2) ou -sqrt(2).

Alors certes, on peut considérer qu'il est sous-entendu que tous les termes de u doivent être réels, mais pourquoi laisser cette ambiguïté alors qu'on peut utiliser une relation de récurrence univoque en écrivant (je maintiens que c'est cette forme qui doit être choisie pour que l'énoncé soit bien rédigé) ?

Tu peux développer le fait que tn soit arithmético-géométrique : j'aimerais savoir comment tu fais pour obtenir cette relation, parce que je ne vois pas.

Je n'ai fait qu'appliquer le logarithme à l'égalité (ou , ça revient au même dans ce cas), on tombe directement sur une relation de récurrence sur t.

[capitaine nuggets]

Comment peux-tu démontrer que u est à termes strictement positifs si u n'est pas bien définie ? Je crois que tu n'as pas compris l'objet de ma remarque. Il est au mieux maladroit, au pire incorrect de parler de "la suite u définie sur N par u0 = 1 et " parce que dans ta relation de récurrence, n'est pas défini de manière univoque. Par exemple tu n'as aucun moyen de savoir si u1 vaut sqrt(2) ou -sqrt(2).

Alors certes, on peut considérer qu'il est sous-entendu que tous les termes de u doivent être réels, mais pourquoi laisser cette ambiguïté alors qu'on peut utiliser une relation de récurrence univoque en écrivant (je maintiens que c'est cette forme qui doit être choisie pour que l'énoncé soit bien rédigé) ?

Je comprends bien la première partie, mais pas bien la nuance de la seconde :
si il existe un entier tel que alors , or donc est à termes strictement positifs ?

[MacManus]

Je comprends bien la première partie, mais pas bien la nuance de la seconde :
si il existe un entier tel que alors , or donc est à termes strictement positifs ?

De toute manière, s'il existait un entier k tel que , alors la suite ne serait pas définie pour tout .

[capitaine nuggets]

ok :king2:

D'autres questions pendant que j'y suis :
- J'ai deux suite extraites et d'une suite telles que et , je vois très bien que n'a pas de limite mais puis-je dire qu'elle diverge sans avoir de limite ?

- Enfin, je n'arrive pas à montrer que la suite définie sur par diverge vers +\infty :triste: .
J'ai montré que et que est strictement croissante.

[Nightmare]

Hello,

Si ta première suite divergeait vers un infini, elle prendrait un signe constant à partir d'un certain rang, ce qui restreint le comportement de ses sous-suites.

A formaliser.

[Nightmare]

Pour tes suites du second tiret, la stricte monotonie implique une convergence ou une divergence vers un infini. Il reste donc a prouver qu'elles ne peuvent converger. Pour ça, on peut utiliser la formule de au écurrence générant tes suites, je te laisse réfléchir au comment

[capitaine nuggets]

Hello,

Si ta première suite divergeait vers un infini, elle prendrait un signe constant à partir d'un certain rang, ce qui restreint le comportement de ses sous-suites.

A formaliser.

Ok, donc du coup, on dit qu'elle n'admet pas de limite.

Par contre, pour le second tiret, j'essaie de trouver quelque chose mais sans résultat :
j'ai essayé de montrer par récurrence que mais je n'y arrive pas.

[Skullkid]

De toute manière, s'il existait un entier k tel que , alors la suite ne serait pas définie pour tout .

Nulle part il n'est précisé que la suite est réelle, il est tout à fait possible de définir la suite sur tout N en prenant des termes complexes. Supposer d'emblée qu'on reste dans R sous prétexte que l'énoncé ne dit rien du tout est assez bancal. Si on présente à capitaine nuggets l'énoncé "résoudre x²+x+1 = 0", il va sans doute mentionner les racines non réelles, pourtant les complexes ne sont mentionnés nulle part.

Pour l'exercice sur lequel capitaine nuggets bloque maintenant : ta suite suit une relation de récurrence de la forme u(n+1) = f(un). Tu as dû voir un moyen de calculer les limites de telles suites lorsqu'elles convergent, moyennant des hypothèses sur f.

[capitaine nuggets]

Nulle part il n'est précisé que la suite est réelle, il est tout à fait possible de définir la suite sur tout N en prenant des termes complexes. Supposer d'emblée qu'on reste dans R sous prétexte que l'énoncé ne dit rien du tout est assez bancal. Si on présente à capitaine nuggets l'énoncé "résoudre x²+x+1 = 0", il va sans doute mentionner les racines non réelles, pourtant les complexes ne sont mentionnés nulle part.

Pour l'exercice sur lequel capitaine nuggets bloque maintenant : ta suite suit une relation de récurrence de la forme u(n+1) = f(un). Tu as dû voir un moyen de calculer les limites de telles suites lorsqu'elles convergent, moyennant des hypothèses sur f.

Au temps pour moi, il n'est pas précisé dans l'exercice, mais la suite u est à valeurs réelles.

Sinon, j'ai beau chercher, je n'arrive pas à montrer que la limite de est .
J'ai vu un moyen de calculer la limite de lorsque qu'elle converge mais pas lorsqu'elle diverge.

[Nightmare]

Suppose alors qu'elle converge, que dire de la limite?

[Le_chat]

Sinon, j'ai beau chercher, je n'arrive pas à montrer que la limite de est .

Ou sinon: , ce qui est plus grand que et donc par récurrence, est plus grand que 2n, d'où le résultat.

Mais bon là ça relève du particulier, alors qu'on connait des méthodes un peu plus générales pour traiter ce genre de cas.

Ici, (un) croit , donc admet une limite en l'infini éventuellement infinie. Or x->x+1/x n'a pas de point fixe, donc (un) diverge.

[capitaine nuggets]

et donc par récurrence, est plus grand que 2n, d'où le résultat.

Je ne comprends pas ce passage

Ici, (un) croit , donc admet une limite en l'infini éventuellement infinie. Or x->x+1/x n'a pas de point fixe, donc (un) diverge.

Ah mais c'est tout bête en fait : tout les cas que je traitais avais toujours au moins un point fixe, donc je ne savais pas, merci :++:

[capitaine nuggets]

Ici, (un) croit , donc admet une limite en l'infini éventuellement infinie. Or x->x+1/x n'a pas de point fixe, donc (un) diverge.

Ah mais c'est tout bête en fait : tout les cas que je traitais avais toujours au moins un point fixe, donc je ne savais pas, merci :++:

et donc par récurrence, est plus grand que 2n, d'où le résultat.

Par contre, je ne comprends pas ce passage

[vincentroumezy]

Salut !
On a u(n+1)²>un²+2.
Donc

etc... Si tu additionnes les n premières relations, qu'obtiens tu ?

[capitaine nuggets]

Salut !
On a u(n+1)²>un²+2.
Donc

etc... Si tu additionnes les n premières relations, qu'obtiens tu ?

Ah oui, du coup :

donc :+++: merci

Ah oui, du coup :

donc :+++: merci

Mais comment à partir de , on peut en déduire que diverge vers ?

[vincentroumezy]

Ah oui, du coup :

donc :+++: merci



Mais comment à partir de , on peut en déduire que diverge vers ?

On a un>racine(2n), car un est à termes positifs, donc....