[MPSI] Bloqué sur un petit exo sur l'orthogonalité

[pouik]

Bonsoir,
pourriez-vous m'aider à résoudre cet exercice sur lequel je n'arrive pas à partir. Merci d'avance.

Soient un espace euclidien et Montrer l'équivalence entre :
1. conserve l'orthogonalité, i.e. : , est orthogonal à implique est orthogonal à .
2. il existe tel que : ,

[fahr451]

bonsoir

1=>2

prendre une bon (e1,...,en) les images sont orthogonales

et comme ei+ej est orthogonal à ei-ej à ei +ej ( j et i différents) on voit que les normes des f(ei) sont toutes égales

2=>1 k non nul f /k linéaire conserve la norme donc le produit scalaire donc l'orthogonalité

[pouik]

Merci,
mais pourriez-vous détailler un peu plus la première implication, je ne comprends pas très bien !

merci d'avance.

[fahr451]

ei orthogonal à ej donc f (ei) à f(ej)

ei+ej orthogonal à ei-ej donc

f(ei) +f(ej) à f( ei) - f(ej) ce qui donne en faisant le produit scalaire

ll f(ei)ll^2 = ll f(ej)ll^2 donc égalité des normes on note k cette norme commune

pour x quelconque

on a x = sigma xi ei avec llxll^2 = sigma xi^2
f(x) = sigma xi f (ei)

ll f(x))ll^2 = sigma xi^2 ll f(ei)ll^2 car les f(ei) orthogonaux

soit ll f(x)ll^2 = k^2 sigma xi^2 = k^2 ll xll^2

[kazeriahm]

tu sais surement que tu peux trouver une base orthonormée de E, notée (e1,...,en)

comme l'as dit fahr, tu peux vérifier que ei+ej est orthogonal à ei-ej (car ||ei||=1)

donc f(ei+ej)|f(ei-ej)=0, ce qui te donne par othogonalité de f(ei) et de f(ej), ||f(ei)||=||f(ej)||, et ce pour tout i et j.

Alors soit k=||f(ei)||, regarde ce qui se passe ensuite pour x quelconque, en décomposant x sur ta base (e1,...,en)

[kazeriahm]

:we: ah bon trop tard

[yos]

Une base n'est pas indispensable je dirais :
conservation de l'orthogonalité entraîne conservation des rapports de longueurs (comme l'a fait Fahr : ).
Et ça donne bien une similitude.

[fahr451]

absolument
j'ai failli passer par Eij mais je me suis retenu )