Petit exercice sur les séries de fonctions...

[pouik]

Bonjour,
Pourriez vous m'aider à résoudre ce petit exercice sur lequel j'ai quelques difficultés. Merci d'avance.

Soit fixé. Pour et x \in R_+^*, on pose . On posera .
1. Montrer que la série de fonctions converge simplement sur .
2. Etudier les variations de la fonction sur . En déduire que la convergence de la série est normale sur tout intervalle avec .
3. Pour quelles valeurs de la convergence est-elle normale sur ?

[pouik]

Pour la première question, j'ai pensé au critère de d'Alembert, est-ce une bonne idée ?

[ThSQ]

On a par exemple
Et donc pour x assez grand.

LE 2 c'est du calcul.

Pour le 3 regarde


PS j'arrête les conneries et je bosse ma chimie

[pouik]

On a par exemple
Et donc pour x assez grand.

Oui mais avce ceci ne pretendez vous pas démontrer la convergence normale ? (ce n'est pas plutot l'objectif de la question 3.) ?

[pouik]

[quote="ThSQ"]On a par exemple
Et donc pour x assez grand.

Pourriez-vous m'expliquer ce que je peux déduire de ca ?? je n'ai pas très bien compris !! :hum:

[klevia]

la série de terme générale exp(-nx) est la somme d'une série géométrique de raison exp(-x) qui converge pour exp(-x)<1 ie x>0
d'où la série un converge par comparaison de série positive

[pouik]

Je comprends mais vers quoi converge la serie ?? car on a besoin de ca pour parler de convergence simple. Non ?

[klevia]

Je ne suis plus sur de rien à ce niveau mais je ne crois pas qu'il faille impérativement connaître explicitement la limite

il faut juste prouver que le reste de série tend vers 0.

[klevia]

J'essaie de faire la question 3 de l'exo et je tombe sur un résultat bizarre:
La convergence n'est jamais normale sur IR+ quelque soit <\alpha>
quelqu'un trouve comme moi ?