Un petit exo de geometrie !!!!

[pouik]

bonjour,
Cela déjà maintenant deux heures que je lutte sur cet exrcice sans résultat. DOnc je viens implorer votre aide. Merci d'avance.
"Soit ABC un vrai triangle. On note :
- C le cercle circonscrit au triangle ABC.
- H l'orthocente du triangle ABC.
- H[A], H[B], H[C] les pieds des hauteurs issues de A,B,C respectivement.
- S[A], S[B], S[C] les symétriques de H par rapport aux droites (BC), (AC), (AB).
* Etablir que les points H[B], H[C], H, A d'une part, H[A], H[C], H, B d'autre part, sont cocycliques.
donc là il faut montrer que : (AH[B],AH[C]) congru à (HH[B],HH[C]) modulo Pi mais je vois pas comment faire.
* En utilisant l'identité (HB,HA) congru à (HB,HH[C])+(HH[C],HA) modulo Pi, établir que (S[C]A,S[C]B) congru à (CA,CB) modulo PI et concluer.
Pour cette question je vois même pas comment faire mais c'est peut-être parce que j'ai pas réussi la 1????"

[Quidam]

donc là il faut montrer que : (AH[B],AH[C]) congru à (HH[B],HH[C]) modulo Pi mais je vois pas comment faire.

Non ! Il ne faut pas ! On peut faire comme ça, mais ce n'est pas nécessaire ! Il y a mille et une façons de montrer que quatre points sont cocycliques !

Moi je trouve qu'il est évident que H(B) et H(C) appartiennent tous deux au cercle de diamètre AH ! Pas toi ?

[Easyblue]

bonjour,
Cela déjà maintenant deux heures que je lutte sur cet exrcice sans résultat. DOnc je viens implorer votre aide. Merci d'avance.
"Soit ABC un vrai triangle. On note :
- C le cercle circonscrit au triangle ABC.
- H l'orthocente du triangle ABC.
- H[A], H[B], H[C] les pieds des hauteurs issues de A,B,C respectivement.
- S[A], S[B], S[C] les symétriques de H par rapport aux droites (BC), (AC), (AB).
* Etablir que les points H[B], H[C], H, A d'une part, H[A], H[C], H, B d'autre part, sont cocycliques.
donc là il faut montrer que : (AH[B],AH[C]) congru à (HH[B],HH[C]) modulo Pi mais je vois pas comment faire.
* En utilisant l'identité (HB,HA) congru à (HB,HH[C])+(HH[C],HA) modulo Pi, établir que (S[C]A,S[C]B) congru à (CA,CB) modulo PI et concluer.
Pour cette question je vois même pas comment faire mais c'est peut-être parce que j'ai pas réussi la 1????"

Pour ta question 1, l'indication que tu as donné est l'indication donnée par le prof ou c'est ce que TU crois qu'il faut montrer?
Car il y a une méthode simple pour montrer que des points sont cocycliques en utilisant des triangles rectangles.

[pouik]

Non c'est parce que dans notre notre cours. On a la proposition suivante :
A,B,C,D aligné ou cocylcliques si et seulement si :
(CA,CB) congru à (DA,DB) modulo PI.
SInon je suis d'accord avec vous pour le cercle.
J'essaye et je vous envoie une réponse dans moins de 10 min !!!!

[pouik]

donc c'est bon je crois que je tiens la question 1 :

(AH[C]) est orthogonale à (HH[C]) donc le triangle AHH[C]est rectangle en H[C].
De plus (AH[B]) est orthogonale à (HH[B]) donc le triangle AHH[B]est rectangle en H[B].
Donc les points A,H,H[B],H[C] appartiennet au cercle de diamètre [AH] (est-ce que ca suffit comme justifications ???). Il sont donc a fortiori cocycliques !!!

(HH[C]) est orthogonale à (BH[C]) donc le triangle BHH[C]est rectangle en H[C].
De plus (BH[A]) est orthogonale à (HH[A]) donc le triangle BHH[A]est rectangle en H[A].
Donc les points B,H,H[A],H[C] appartiennet au cercle de diamètre [BH] (est-ce que ca suffit comme justifications ???). Il sont donc a fortiori cocycliques !!!

Par contre pour la question 2 je ne vois pas comment faire !!! :mur:

[Easyblue]

La question est correcte et il ne manque aucune justification.
Je vais réfléchir à la 2.

[Easyblue]

Déjà tu peux remarquer que (S[C]A,S[C]B)=(HB,HA).
Ensuuite tu peux te servir des propriétés des angles (égalité d'angle) dans un cercle.
Je t'avoue que pour l'instant j'ai pas la solution mais je pense que c'est comme ca qu'il faut faire.

[pouik]

alors là désolé mais je ne comprends pas bien ton égalité car pour qu'on ait ceci il faudrait que H appartienne au Cercle C ou que S[C],A,B,H soient alignés ce qui n'est pas le cas !!!

[pouik]

En fait je ne suis plus sur de ce que je viens de dire.
Est-ce qu'on peut me confirmer si l'égalité proposée par Easyblue est bonne ??? car ce serait bête de commencer à chercher sur un truc faux vous n'êtes pas d'accord !!!

[Nicolas_75]

pouik, si tu n'as pas confiance dans cette égalité, tu peux regarder sur ta figure avec un rapporteur, pour te faire une idée...

2) J'ai une proposition qui n'utilise pas la question précédente.
est le symétrique de par rapport à .
Donc le triangle est image du triangle par la symétrie axiale d'axe .
Donc ces 2 triangles sont isométriques et
Donc :

Egalité des angles opposés dans une intersection de droite :


Somme des angles d'un quadrilatère :



Sauf erreur.

[Nicolas_75]

Pour "conclure", reste (à mon avis) à utiliser le théorème réciproque de l'angle inscrit.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_l%27angle_inscrit

[pouik]

Bonjour,
Je pense que grâce à vous je le tiens : :id: :id:
(CA,CB) = (CH[B],CH[A]) + k.Pi
(CA,CB) = Pi - (AH[C],AH[B]) - ((BH[A],BH[C]) + k.PI car somme des angles d'un triangle est égale à Pi.
(CA,CB) = Pi - ((HH[C],HH[B]) + (HH[A],HH[C])) + k.Pi d'après la question précédente : c'est là qu'on l'utilise !!!
(CA,CB) = Pi - (HH[A],HH[B]) + k.Pi
(CA,CB) = Pi - (HA,HB) + k.Pi car Egalité des angles opposés dans une intersection de droite
(CA,CB) = Pi + (HB,HA) + k.Pi
(CA,CB) = (HB,HA) + (k+1).Pi avec k+1 appartient à Z
(CA,CB) = (HB,HH[C]) + (HH[C],HA) + k'.Pi on utilise ce qui est proposé dans la question !! avec k'=k+1
(CA,CB) = (S[C]H[C],S[C]B) + (S[C]A,S[C]H[C]) + k'.Pi on tulisqe le fait que les triangles HBS[C] et AHS[C] car S[C] est l'image de H par respectivement les symétries d'axe (BH[C]) et (H[C]A)
d'où finalment :
(CA,CB) = (S[C]A,S[C]B) + k'.Pi

Ca me semble bon !!! et je pense que j'ai utilisé tout ce qu'il fallait!! Qu'est ce que vous en pensez ???

J'attends avec impatience vos commentaires §§§§ :zen: :zen:

[Easyblue]

Lorsque je t'ai dit que (S[C]A,S[C]B)=(HB,HA) c'est tout simplement que S[C] est le symétrique de H par rapport à (AB).
Du coup tu n'a pas besoin de le démontrer.
Par contre, le reste de ta démo me semble juste.

[pouik]

mais est-ce que d'un point de vue "rigueur" il faut partir de (CA,CB)=...
ou (S[C]A,S[C]B)=... ou est-ce que c'est pas important ???

[Easyblue]

mais est-ce que d'un point de vue "rigueur" il faut partir de (CA,CB)=...
ou (S[C]A,S[C]B)=... ou est-ce que c'est pas important ???

Y'a pas d'importance en général. Disons que ça dépends des exos.
Mais ici, je pense qu'il faut que tu partes de (S[C]A,S[C]B)=... en disant que c'est égal à (HB,HA) car S[C] est le symétrique de H par rapport à (AB); puis que tu utilise le fait que (HB,HA) est congru à (HB,HH[C])+(HH[C],HA) modulo Pi.
Et enfin tu fait le reste de ta démo.

[pouik]

okay bah merci beaucoup à tous pour votre aide.