Petit exo analyse TAF/Rolles

par **Ruch** » 26 Fév 2009, 18:39

Bonjour à tous. Je vous donne un court exo où je bloque.

"Soit f une application dérivable sur [a,b] et telle que

. Montrer qu'il existe c dans ]a;b[ tel que

"

Ca doit être un classique je suppose. J'ai essayé de créer une fonction auxiliaire style avec du

et du

en vain.

Merci de m'aider

par **Nightmare** » 26 Fév 2009, 18:52

Salut :happy3:

On peut poser :

On a deux choix :

Si g(b)=0, dans ce cas on applique Rolle à g sur [a,b] et on a le résultat.

Si g(b) est différent de 0. On montre qu'il existe un x tel que g(x) > m (autrement en passant aux limites dans les taux d'accroissements et en bidoulliant un peu, on retombe sur g(b)=f'(a)=f'(b)=0, contradiction).
Par continuité sur [a,b] on a l'existence d'un y tel que g(y)=0 et on applique Rolle encore.

par **Nightmare** » 26 Fév 2009, 18:53

Au passage, l'hypothèse f'(a)=f'(b)=0 est superflue, f'(a)=f'(b) suffit.

par **ThSQ** » 26 Fév 2009, 19:09

Ah ? a=0, b=1, f(x) = x+1

par **Nightmare** » 26 Fév 2009, 19:24

Dans ton cas, n'importe quel c convient...

par **Nightmare** » 26 Fév 2009, 19:26

C'est bien gentil de balancer des contre-exemple avec une telle arrogance, encore faut-il vérifier au préalable qu'ils sont corrects...

par **ThSQ** » 26 Fév 2009, 20:05

Allons, allons ....

J'ai merdu sur le contrex ok :marteau:

f(x) = x^2 sur 0..1 alors ;)

par **Ruch** » 27 Fév 2009, 01:00

Peux-tu détailler Nightmare ou mieux rédigé je peine à comprendre ce que tu écris? Comment est m? etc.

par **Nightmare** » 27 Fév 2009, 01:18

f(x)=x² sur [0,1]? Il ne me semble pas que f'(0)=f'(1).

Pour info, l'extension de la propriété que j'ai annoncée est bonne (exo de khôlle donné l'année dernière), il est donc peu être vain d'essayer de trouver un contre-exemple...

par **Nightmare** » 27 Fév 2009, 01:19

Ruch > Pardon, m = g(b).

par **Ruch** » 27 Fév 2009, 02:40

Oui mais si on montre qu'il existe x tel que g(x)>m, je ne vois pas en quoi la continuité de g assure qu'il existe un y tel que g(y)=0. Le TVI ne donne rien.

par **ThSQ** » 27 Fév 2009, 08:44

Nightmare a écrit:f(x)=x² sur [0,1]? Il ne me semble pas que f'(0)=f'(1).

Sin(x)/x sur -1..1 alors ? ( je joue tant que ça marche

)

par **Joker62** » 27 Fév 2009, 10:51

ThSQ a écrit:( je joue tant que ça marche )

Ca me fait penser à ma tendre relation avec ma CB lol
Vous allez arrêtez de vous chamailler là :p ?

par **Doraki** » 27 Fév 2009, 11:25

Ruch a écrit:Oui mais si on montre qu'il existe x tel que g(x)>m, je ne vois pas en quoi la continuité de g assure qu'il existe un y tel que g(y)=0. Le TVI ne donne rien.

Il voulait dire g(y)=m

par **Nightmare** » 27 Fév 2009, 14:02

ThSQ > Je ne comprends pas tes contre exemples, à quoi joues-tu ? (Puisque c'est le mot que tu emploies). Encore une fois, sin(x)/x ne vérifie pas toutes les hypothèses.

par **Ruch** » 27 Fév 2009, 15:10

Nightmare, comment tu fais pour bidouiller les taux d'accroissement avec ton raisonnement par l'absurde?

par **Nightmare** » 27 Fév 2009, 15:31

Je reprends :

On se place dans le cas où f'(a)=f'(b) g(d). Le TVI assure alors l'existence de y tel que g(y) = g(d) et Rolle nous permet de conclure quant à l'égalité voulue.

par **ThSQ** » 27 Fév 2009, 16:34

Joker62 a écrit:Vous allez arrêtez de vous chamailler là :p ?

Oui, je plaide coupable, Nightmare n'a rien fait. Par contre moi j'ai commencé par sortir une ânerie après avoir fait un dessin (faux) sur un post-it puis j'ai trouvé amusant (et stupide) de taquiner (ça a marché d'ailleurs

) Nightmare qui avait l'air un peu remonté.

Tout ça pour dire : Nightmare excuse moi !

par **Nightmare** » 27 Fév 2009, 16:35

Pas de soucis, je ne suis pas aussi énervé que mes messages le laissaient penser :lol3:

par **Ruch** » 28 Fév 2009, 01:03

Ok Nightmare merci :++:

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