Petit éxo de réduction d'endomorphisme

[ben86]

Bonjour,
j'ai un nouvel éxo a vous soumettre.En fait la 3eme question me pose un peu probleme ;voici l'énoncé:
On considère:
-une matrice A différente de 0
-l'application qui va de Mn(R) ds Mn(R) et qui a toute matrice M ---->Tr(M)A+Tr(A)M

1)monter que cette application est linéaire (ça c pas trop dur :we: )
2)Identifier Kerf et Imf (bon je crois avoir trouver :distinction de cas suivant les valeurs de Tr(A) )
3) f est elle diagonalisable ?(la jai du mal .jai essayé d'exprimer la matrice associée ds la base des Eij mais bon....ou alors trouver un polynome scindé a racines simples et annulateur mais le probleme c'est que je le trouve pas :marteau: )

merci d'avance pour vos réponses

[Bija]

Si Tr(A)=0, Ker f est l'ensemble des matrices de trace nulle, Im f =Vect(A).
Si f est diagonalisable, on a Mn(R)=Ker f + Im f, en somme directe or ce n'est pas le cas ici (A est dans ces 2 ensembles).

Si Tr(A) est non nul, f(M)=0 => Tr(M)=0 => M=0 donc f est bijective.
On prend une bas de Mn(R) du type (A,B(1), .. B(n²-1)) avec Tr(B(i))=0 : l'ensemble des matrices de trace nulle est un sev de dim n²-1, et A n'appartient pas à ce sev. On a f(A)=2*Tr(A)*A et f(B(i))=Tr(A)*B(i) donc f est diagonalisable.


Sinon dans le 1er cas tu peux remarquer que seul 0 est valeur propre, et que f n'est pas l'application nulle (donc n'est pas diagonalisable).

[andros06]

As-tu calculé les dimensions du noyau et de l'Image de ton endomorphisme ?

[ben86]

désolé mais je ne comprends pas la premiere implication ds le cas ou Tr(a) différente de 0
sinon pour les dimensions on les a immédiatement ds le cas ou Tr(a)=0: imf=vect(a) dc dimImf=1 et dimKerf=n^2-1(formule de la dimension)

[Bija]

Dans le cas ou Tr(A) est non nul, on a :
si f(M)=0, Tr(A)M+Tr(M)A=0, et en composant par la trace on a Tr(A)Tr(M)+Tr(M)Tr(A)=0 soit 2Tr(A)Tr(M)=0 et Tr(M)=0 comme Tr(A) est non nul.

Comme Tr(A)M+Tr(M)A=0, on a finalement Tr(A)M=0 et M=0 puisque Tr(A) est non nul.

[ben86]

hum...oui j'avais pas vu la composition par la trace
merci pour tes explications

[mimi59]

Si Tr(A)=0,
Si f est diagonalisable, on a Mn(R)=Ker f + Im f, en somme directe

Désolée s'il s'agit d'une question stupide mais je ne comprends pas ceci.
pourquoi a-t-on cette somme directe?? :hein:

merci d'avance :happy2:

[Bija]

Si un endomorphisme f est diagonalisable, sa matrice dans une base B est diagonale. Si 0 est valeur propre d'ordre de k, on a Mat(f,B)=Diag(0,..,0,a(1),...,a(n-k)) avec a(i) non nul.
Si B=(e1,..,en), une base de Ker f est (e1,..,ek) et une base de Im(f) est (e(k+1),..,en), d'ou le résultat.

Mais a mon avis le plus simple c'est d'utiliser les valeurs propres :
On a f(M)=Tr(M)*A, donc f(M)=k*M => tr(M)*A=k*M. Si k est différent de 0, M est colinéaire à A donc de trace nulle et finalement on a k*M=0 soit k=0 ou M=0.
Dans ce cas seul 0 est valeur propre de f, et comme f n'est pas nulle elle n'est pas diagonalisable.

[mimi59]

désolée j'ai du mal..
une question:en général on n'a pas toujours Kerf et Imf en somme directe??

[xon]

Non, pas forcemment. Par exemple si tu prends f l'endo de
R²->R² qui à (x,y)->(y,0)

tu as Kerf=Imf