Permutations et action de groupe

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Lostounet
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Permutations et action de groupe

par Lostounet » 13 Fév 2017, 20:38

Hello,

Pour un certain exercice basique, j'ai du mal à voir les arguments attendus.

Soit une permutation d'un ensemble E.

Je dois prouver que quelle que soit la permutation sigma, dont les orbites sont peut s'écrire comme produit de permutations de support tel que de plus:

1.
2. E est union des Oi
3.

Ce qui me pose problème, c'est un peu le fait que l'exo ne parle nulle part de "cycles" (existence/unicité de décomposition en cycles à supports disjoints). Je me suis donc dit qu'on pouvait utiliser des arguments sur les actions de groupes. Les orbites de E sous l'action de la permutation forment une partition de E. Pour la 3, c'est aussi OK (preuve classique)

Par contre pour la 1, je suis un peu dans le flou? faut-il faire une récurrence?
Merci



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Ben314
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Re: Permutations et action de groupe

par Ben314 » 13 Fév 2017, 21:34

Salut,
Je saisi pas trop l'exercice, en particulier d'où pourrait bien sortir le fait qu'il n'y a qu'un nombre fini d'orbite.
Si on prend l'application de N->N telle que 2n->2n+1 et 2n+1->2n, c'est clairement une permutation de E=N et il y a tout aussi clairement une infinité d'orbite, à savoir les {2n,2n+1}

Sinon, modulo d'appeler les orbites, c'est correct (*) (mais I peut parfaitement être infini, voire tout ce qu'il y a de plus non dénombrable, par exemple si la permutation, c'est l'identité de R dans R).

Sinon, je comprend absolument pas ce que tu veut "démontrer" (surtout par récurrence) dans le 1. : pour démontrer les différent trucs (1. 2. et 3.), va évidement falloir qu'à un moment ou un autre tu définisse qui sont les dont tu parle et il me semble très clairement que le 1. ben c'est ça que tu va prendre comme définition (des ) ce qui fait que tu as que dalle à démontrer (à part que la définition est cohérente, c'est à dire que la restriction de à est bien une permutation de )

(*) Sauf que tu risque pas de parler "direct" du produit des vu qu'à priori, c'est un produit infini (éventuellement non dénombrable) et que sans topologie, ça a a priori aucun sens.
Là, ça a du sens vu que quelque soit x, un et un seul élément du produit ne laisse pas x fixe donc on peut définire ce qu'est "le produit appliqué à x"
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

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Lostounet
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Re: Permutations et action de groupe

par Lostounet » 13 Fév 2017, 23:28

Ces exercices sont tellement mal faits que je dois deviner à chaque fois ce qu'il manque, et ce qui est erronné, corriger l'énoncé puis le résoudre. Donc ça m'étonne pas...

Bref, rien n'est dit sur le cardinal de de E ni sur ce fameux qui sort de nulle part. Les sigma i sont définis comme "les permutations de support Oi".

Comme toi, je ne vois pas très bien ce qui est attendu. Je vais tout simplement montrer que la restriciton de sigma à Oi est une permutation (mais c'est un truc en une ou deux lignes ça...)

 

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