Algèbre : transpositions, permutations, groupe symétrique...

[romutoi]

Bonjour à tous...
A nouveau coincé en algèbre. Je suis en train de faire l'exercice corrigé suivant (Toute l'algèbre de licence - Dunod - 11.4 page 214) :
Montrer que l'ensemble E1 des n transpositions {(12), (13),... (1n)} engendre Sn (Sn est le groupe appelé symétrique, groupe définit comme suit :
ensemble des bijections de l'ensemble {1,...,n} dans lui même muni de la loi de composition des applications)

Réponse des auteurs : il utilise une formule démontrée dans un exercice précédent : si je désigne sigma comme permutation de Sn et c = (x1... xr) un cycle de longeur r de Sn, on a : sigma o c o sigma^-1 = (sigma(x1)... sigma(xr)).

Ici il faut utiliser cette formule avec des transpositions (cas particulier de permutation, donc ok), sachant que linverse d'une permutation est lui-même.

Ils obtiennent donc (ij) = (1i)(1j)(1i)

J'aimerais décortiquer la double composition comme on ferait avec en analyse pour bien comprendre la transformation de l'élément de départ et comment on arrive à (ij).

Est-ce que quelqu'un m'a compris ? et surtout peut-il m'aider ?

J'espère avoir été clair...mais c'est pas évident d'expliquer en algèbre...

Merci d'avance

romuald.

[yos]

Dans l'ordre :
et

[romutoi]

Ok merci pour la réponse aussi rapide, c'est super !!
A bientot. romuald