Groupe des permutations

[Archytas]

Salut,
Dans un exercice j'ai à déterminer tous les Sylow de le groupes des permutations de 4 éléments.
Pour les 3-Sylow ça va, pour les 2-Sylow j'ai pensé (après environ 94,pi essais) à
("groupe engendré par les éléments..." avec les notations sous forme de produit de cycles disjoints) qui, à force d'entrechoquer les éléments me donne 8 éléments comme promis. J'ai alors deux questions:
1) Comment trouver rapidement la tête de nos chers Sylow?
2) Comment montrer qu'un ensemble est un groupe?
En particulier dans mon cas j'ai (j'espère avoir) j'ai l'impression d'avoir essayé toutes les méthodes que je connais; l'exprimer comme un noyau, essayer par un argument de cardinal et de divisibilité des ordres. Je les ai peut être mal appliquées mais en tout cas la seule chose qui marche en temps fini c'est d'entrechoquer les éléments entre eux pour constater qu'ils restent bien dans H. Bref si vous avez une astuce qui m'évite de faire 94,pi essais ou de faire 18,3 calculs de produit de permutations ce sera un plaisir de les lire.

PS: au détour d'un couloir mon prof m'a suggéré de regarder les 2-Sylow de , ils sont en effet plus simples que ceux de mais j'arrive pas à en tirer grand chose. Peut être avec (produit semi direct) mais j'y connais pas trop grand chose sur les psd?

[Ben314]

Salut,
Y'a pas de méthode bien bien redoutable qui marcherais à tout les coups, mais dans un cas pareil, c'est pas la mer a boire non plus.
Le cardinal de S4, c'est 4!=24 donc tu cherche un sous groupe d'ordre 8 donc ne contenant que des éléments d'ordre 1,2,4 ou 8.
L'ordre 8, c'est exclu, y'en a pas dans S4.
L'ordre 4, y'en a, par exemple a=(1234) qui engendre donc un groupe H d'ordre 4 (et y'a rien à "vérifier").
Sauf qu'y faudrait y rajouter autre chose pour passer à l'ordre 8.
Mettons qu'on rajoute un certain b (qui ne soit évidement pas dans H).
Les éléments sont évidement distincts (sinon b serait dans H) donc si on veut pas dépasser l'ordre 8, c'est qu'on a tout le monde et en particulier, ça veut dire que doit être un des éléments de cette liste et comme ça ne peut pas être un c'est qu'on doit avoir .
On peut pas avoir vu que ça signifierais que est d'ordre 8 donc .
De même, doit être dans la liste et en fait , c'est à dire .
Arrivé à ce stade, on peut faire un peu plus de théorie ou bien commencer à procéder à des essais :
- Si b=(12) alors mais (*) n'est pas un .
- Si b=(13) alors et : BINGO
On considère donc le groupe engendré par a=(1234) et b=(13). Il contient évidement les 8 éléments cités çi dessus et il ne contient bien que ceux là et rien d'autre (**) vu que la "règle" permet "d'échanger" les et les et donc permet de mettre le(s) au début.
Par exemple le produit de et de est .
Bref, le bilan, c'est (comme souvent) d'éviter de trop se "salir les mains" en redescendant au niveau de l'écriture des permutations pour plutôt se concentrer sur la structure de groupe même, c'est à dire sur la façon dont les éléments du groupe "se combinent".

(*) C'est pas con de savoir comment sa marche les conjugués des permutations : (12) échange 1 et 2 donc si on conjugue (1234) par (12) ça donne (2134)
(**) i.e. l'ensemble des 8 éléments cités forme bien un groupe.

[Ben314]

Par contre, concernant l'autre question, je sais pas ce que c'est que U4.
Vu ton produit semi direct, ça me laisserait penser qu'il s'agit du groupe alterné An, mais comme je l'ai jamais entendu appelé Un...

Si c'est effectivement le groupe alterné An, même méthode : card(An)=4!/2=12 -> les 2-Sylow sont d'ordre 4.
Comme A4 contient pas d'éléments d'ordre 4, on part d'un d'ordre 2 donc forcément un double 2-cycle, par exemple a=(12)(34) puis on cherche un (distinct de 1 et a) à "rajouter" de façon à avoir comme groupe {1,a,b,ab}.
doit être dans la liste et, par élimination ne peut être égal qu'à (si alors serait d'ordre 4) donc est aussi un double 2-cycle.
Et si on prend pour n'importe quel autre double 2-cycle, par exemple b=(13)(24), on vérifie que bab=(34)(12)=a (*) et c'est fini : et commutent et sont d'ordre 2 donc {1,a,b,ab} est bien un groupe (isomorphe à (Z/2Z)²)

(*) Rappelons de nouveau que, si b est une permutation telle que 1->x ; 2->y ; 3->z ; 4->t et que, par exemple, a=(12)(34) alors =(xy)(zt). De même, si a=(132) alors =(xzy), etc...

[Archytas]

Ok super merci pour ta réponse (=
Et comment on déduit les Sylow de des Sylow de ? Oui désolé ce que j'appelais Un c'est le groupe alterné!

[Ben314]

Vu que le cardinal de Sn est le double de celui de An, pour p différent de 2, les p-Sylow, c'est les mêmes.

Pour p=2, si H est un 2-Sylow de Sn, alors K=HnAn est un 2-Sylow de An (pourquoi ?) et tout 2-Sylow H de Sn est engendré par les élément d'un 2-Sylow K de An plus un élément s de Sn qui n'est pas dans An.
Mais cette élément s "ajouté" n'est pas quelconque vu qu'on doit avoir Hs=sH et que s² doit être dans H (en fait en utilisant les Théorèmes de Sylow, on peut montrer qu'on peut prendre pour s une transposition, mais pas n'importe laquelle)

[Archytas]

Ok d'accord, merci bien (: