Pblm de probabilité

[cdm1024]

Bonjour,

J'ai posté cette question dans la section lycée, mais j'ai pas eu de réponses. Donc je repose la question ici en espérant avoir plus de réponses.

Voici un problème qui m'a été posé, et je ne sais pas vraiment comment le résoudre


Une classe de 22 élèvezs doit élire un délégué de classe; Il n'y a que deux candidats: Charlotte et Lucas.
Un candidat est élu s'il obtient la majorité absolue; tous les élèves doivent voter pour l'un ou pour
l'autre.

On décide d'appeler résultat le 22-upplet conrrespodant aux votezs des 22 élèves de la classe.
Par exemple, le résultat (C,L,L,....,L,L,C).

1 determiner le nombre de résultat possibles
2 determiner le nombre de résultat pour charlotte soit élue, pour que lucas soit élue.
3 determiner le nombre de résultat pour qu'il y ait ballottage.

Voici mon début de réponses


1

Le vote est équivalent à un tirage simultanée avec remise donc il y a 2^22 uplets possibles.
Cependant l'ordre n'est pas significatif donc il faut faire (2^22)/2 <-- Je ne sais pas comment
justifier ce raisonnement


2

Pour que charlotte soit élue il faut qu'elle ait au moins 12 voie en sa faveur donc \sigma(0,10,C(12+i,22)/2*C(10+i,22)/2)
On divise par deux car l'ordre n'est pas significatif.

Idem pour lucas

3

Pour qu'il y ait balottage il faut qu'il y ait 11 pour charlotte ou lucas. 2*C(11,22)/2

merci d'avance de vos réponses

[Lierre Aeripz]

1. Certes l'ordre n'est pas important pour le résultat final, mais là on sous-entend que les élèves sont numérotés, on s'intéresse à la donnée brute. La réponse est bien 2^22.
NB : Si tu ne veux pas prendre en compte l'ordre, la réponse est 23. En effet, un vote est entièrement déterminé par le nombre de voix qu'a récolté Charlotte.

2. Plutôt que de commencer par deux, faisons 3. d'abord.

3. Il y a ballotage si et seulement si charlotte récolte exactement 11 voix. Il y a 22-uplets de votes (ordonnés donc) qui vérifient cela.

4. Notons p et q les nombres de configurations donnant respectivement à C et Q une majorité absolue. Il est clair, par symétrie, que p = q. Or comme chaque vote aboutit univoquement à la victoire de C, la victoire de L ou un ballotage, on a . Donc

La méthode de la somme marche aussi mais est plus longue. La somme exacte est

[cdm1024]

Dans la question 3 du ballotage. On a pour le cas de charlotte on tire 11 C donc, C'est un tirage de 11 elément parmi 22 donc C(11,22). Mais pourquoi tu multiplie par 2 ou divise par 2, j'ai pas très bien compris.

merci de ton aide