PBBBBB d'Algèbre

[mounem]

Bonjour,

Voici l'énoncé:

On considère un espace euclidien E de dim=4. on note ( / ) le produit scalaire.
Soit B=(e1,e2,e3,e4) une base orthonormé de E.

on considère la forme linéaire fi sur E qui, au vecteur
v= somme de i à 4(xi.ei) , associe le réel fi(v) = somme i à 4( xi)

1) on note H le noyau de
a) dimension de H ? dimH=3
b) Montrer que la famille (f1,f2,f3) , f1 = 1/2 (e1 - e2 +e3 -e4)
f2= 1/2 (e1 + e2 - e3 -e4) f3=1/2 (e1 - e2 - e3 + e4) est une base orthonormé de H? [I]ça va pour cette question[/I]

2) a) Trouver un vecteur f4 tel que B'=(f1,f2,f3,f4) soit une base orthonormé de E et (f4/e1) >0? PB
b) explicité la matrice de passage Pbb' et Pb'b? Ok pour cette question .

3) soit D la droite vectorielle engendrée par f4.
on note P1 la projection orthogonale de sur D et p2 la projection orthogonale sur H.
a) vérifier que p2=Id-p1 et que p2 o p1 = p1 o p2.


mon blocage concerne la question 2a) j'aimerai avoir une méthode générale pour cette de question.
et aussi la question 3a)

Merci d'avance pour votre aide.

[Taupin]

Pour ton "bloquage", c'est simple en fait !
Tu as f1, f2, f3.
Tu cherche f4 sous forme de combinaison linéaire des ei, ok ?
Et ton vecteur f4 doit vérifier :
(f1/f4)=0
(f2/f4)=0
(f3/f4)=0
det(f1,f2,f3,f4)=1

et donc (f4/e1) > 0
Je n'ai pas fait les calculs mais si tu as un pb envoye moi un message privé ;)
Cordialement