Pavage de Penrose

[Aispor]

Bonjour,
J'ai vu en cours le pavage de Penrose par la décomposition des triangles d'or et d'argent.
Un triangle d'or se décompose en triangles d'or et d'argent, et pareil pour le triangle d'argent.

Mais je ne comprend pas comment paver le plan avec ces triangles.
Merci !

[chan79]

salut
Un exemple de pavage du triangle d'or, ça t'aidera peut-être
Avec geogebra, il faut créer des outils pour gagner du temps

[chan79]

ou alors tu fais un pavage avec des pentagones réguliers. Il te reste des losanges.
Chaque pentagone se partage en un triangle d'or et deux d'argent.
Chaque losange se partage en deux triangles d'or.

[Lostounet]

Très belles figures !

[Aispor]

Salut !
Oui les figures sont très belles :p
J'ai bien fait un algorithme pour les construires, avec autant de triangle que je souhaite.
Mais si je veux paver le plan tout entier, je ne peux pas partir d'un seul triangle, il faudrait qu'ils s'emboîtent bien sur tout le plan non ?

[Aispor]

Ou alors,
Dire que les figures forment un pavage du plan est équivalent à dire que je peux dessiner autant de petites figures que je souhaite pour paver une zone du plan
?

[chan79]

A partir du triangle d'or n°1, tu peux rajouter indéfiniment des triangles d'argent 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... en "tournant" toujours vers la droite et ainsi recouvrir le plan tout entier mais avec des triangles de plus en plus grands.

[Aispor]

Ah oui je ne voyais pas ça dans ce sens,
Magnifique !
Merci !

[chan79]

Il faut quand même préciser que la figure précédente n'est pas vraiment ce qu'on appelle un pavage.
On doit en fait utiliser un nombre fini de figures élémentaires, comme dans l'exemple qui suit où on a des pentagones et des losanges. En mettant des couleurs on voit sans peine comment continuer la construction à l'infini.
La figure est invariante par une rotation de 72° et par 5 symétries axiales, mais n'est invariante par aucune translation.


Roger Penrose a fait un travail remarquable !

[GaBuZoMeu]

l'exemple qui suit où on a des hexagones et des losanges.

J'ai beau compter et recompter, je vois 5 côtés et pas 6.

[chan79]

C'est corrigé. Merci

[Aispor]

Merci !

Je me demandais aussi, est-il possible de classifier l'ensemble des pavages apériodiques ?

[chan79]

Grande question dont tu auras peut-être la réponse dans ce livre:
https://www.cambridge.org/core/books/ap ... 6570AF74D2