Ordre fini et éléments qui commutent

[MC91]

Bonjour,

J'ai vu une propriété sur internet qui dit que :
Si x et y sont deux éléments d’ordre ;)ni d’un groupe G et si xy différent de yx, alors
l’ordre de xy peut être ;)ni ou in;)ni.

Du coup, j'aurai voulu savoir si xy=yx, alors l'ordre de xy est fini.

Merci d'avance.

[Nightmare]

Salut,

si xy=yx alors (xy)^(nm)=x^(nm)y^(nm)=1 si n et m sont les ordres de x et y.

Donc l'ordre de xy est au plus nm.

[MC91]

Salut,

si xy=yx alors (xy)^(nm)=x^(nm)y^(nm)=1 si n et m sont les ordres de x et y.

Donc l'ordre de xy est au plus nm.

Donc on peut dire que l'ordre de xy serait le ppcm de n et de m?

Autre question, je ne comprends pas pourquoi on doit avoir x et y qui commutent.

[Nightmare]

Donc on peut dire que l'ordre de xy serait le ppcm de n et de m?

Non, pas toujours. Ce qu'on peut dire c'est qu'il est inférieur au ppcm et même que ça en est un diviseur. Mais il n'est pas forcément égal. Par exemple si x est d'ordre 2, alors x² = x*x est d'ordre 1, qui n'est pas le ppcm de 2 et 2.

Autre question, je ne comprends pas pourquoi on doit avoir x et y qui commutent.

Je ne comprends pas ta question, on doit avoir x et y qui commutent pour quoi?

[MC91]

Non, pas toujours. Ce qu'on peut dire c'est qu'il est inférieur au ppcm et même que ça en est un diviseur. Mais il n'est pas forcément égal. Par exemple si x est d'ordre 2, alors x² = x*x est d'ordre 1, qui n'est pas le ppcm de 2 et 2.



Je ne comprends pas ta question, on doit avoir x et y qui commutent pour quoi?

Ok pour l'histoire du ppcm.

Tu as dit plus haut que "si xy=yx alors (xy)^(nm)=x^(nm)y^(nm)=1 si n et m sont les ordres de x et y. "
Mais en fait je vois pas pourquoi tu as besoin d'avoir xy=yx.
C'est nécessaire pour faire ce passage : "(xy)^(nm)=x^(nm)y^(nm)" ?

[Nightmare]

(xy)^p=xy*xy*...*xy

Ca ne vaut pas nécessairement x*x*...*x*y*y*...*y

[MC91]

(xy)^p=xy*xy*...*xy

Ca ne vaut pas nécessairement x*x*...*x*y*y*...*y

Aaah oui !!!

Ok, merci beaucoup !!
Bonne soirée, à bientôt.