Eléments d'ordre fini d'un groupe

[Imod]

Un petit problème que j'avais maladroitement insérer dans un autre fil , avis aux amateurs !

Si un groupe G admet un nombre fini d'éléments d'ordres finis alors l'ensemble de ces éléments ( d'ordre finis ) constituent un sous-groupe de G .

Imod

[Imod]

Pas d'idées ou pas d'intérêt ?

Imod

[yos]

C'est intéressant, mais pas évident. Il y a "juste" à prouver que le produit de 2 éléments d'ordre fini est d'ordre fini.

[Imod]

Yos , je ne suis pas sûr que tu sois sur une bonne voie , mais ( heureusement ) chacun suit son chemin ... Si personne ne trouve , je donnerais une piste .

Imod

[yos]

Je ne suis sur aucune voie. Je crains un peu le genre d'exo où il faut prouver beaucoup plus (genre que les hypothèses ne peuvent pas se produire).

[Imod]

Non yos , ce n'est pas si compliqué ,

il y a un nombre fini d'éléments d'ordre fini , on note X cet ensemble . Y le groupe engendré par X , en étudiant la décomposition des éléments de Y comme produit d'éléments de X on peut montrer que Y est fini .

Imod

PS :Connaissant ta finesse , je ne donne pas trop d'indice .

[fahr451]

pas d'idée ; fort intéressé par une réponse.

[alben]

Bonsoir,

Avec les notations posées par Imod, j'appelle k le cardinal de X. Un élément y s'écrira comme le produit fini d'élements de X. Je pense que ce produit doit avoit un nombre de facteurs inférieur ou égal à k.
S'il y a plus de k facteurs, cela signifie que l'on retrouve deux fois le même x€X.
S'il sont successifs, x²€X et on peut oter un facteur.
S'il ne le sont pas on doit pouvoir les déplacer ?

Et ainsi de suite de proche en proche. Ca pourrait marcher non ?

[yos]

T'utilises pas le fait que X est un groupe là?
Ou bien j'ai pas compris!

[alben]

Non si x' est d'ordre fini n, alors pour n'importe quel a de G, b=a^(-1)x'a sera d'ordre fini comme on le vérifie facilement en développant b^n. L'ordre de b sera le même que celui de x'
C'est la même chose pour x² dont l'ordre sera n ou n/2

[tize]

Bonsoir,

S'il ne le sont pas on doit pouvoir les déplacer ?

Et ainsi de suite de proche en proche. Ca pourrait marcher non ?

Ca à l'air d'être une bonne idée.
Une petite question tout de même : ne déplace-t-on pas le problème (des termes non proches) un peu plus loin en faisant apparaître un x'' ?

[alben]

Bonsoir Tize,

Ce que je veux montrer c'est que je peux diminuer le nombre de facteurs d'une unité en déplaçant mon x le plus lointain vers l'avant jusqu'a ce qu'il devienne consécutif à la première occurrence.
S'il reste encore plus de k termes, cela signifie qu'il existe un nouvel x en doublon et on recommence jusqu'à arriver à un maxi de k facteurs. Le nombre d'élements de Y sera alors inférieur à k^(k+1)

PS et bien sur tous les éléments du sous groupe fini Y seront d'ordre fini d'où Y=X

[tize]

Au temps pour moi, j'ai cru avoir compris ce que tu faisais mais ça n'était pas tout à fait le cas. Merci Alben :we:
En plus avec ta méthode qui à l'air de bien marcher, on arrive assez bien à conclure : une fois que l'on a montré que tout élément du groupe peut s'écrire comme un produit d'au plus k facteurs, il parait alors évident que le produit de deux éléments est aussi d'ordre fini puisqu'il s'écrit avec au plus k facteurs (lui ainsi que ses "puissances"), les combinaisons étant en nombre fini on finira par retomber deux fois sur un même éléments...

[Imod]

C'est en effet la solution que j'avais . Alben , Tize , Yos , une triplette décidément très efficace ( un petit + pour Alben sur ce coup ) :++:

Imod

[alben]

Oui, sans ton indication (message 6), je crois que j'aurais tourné en rond pendant encore longtemps

[tize]

C'est en effet la solution que j'avais . Alben , Tize , Yos , une triplette décidément très efficace ( un petit + pour Alben sur ce coup ) :++:

Imod

Oui, bravo Alben ! :++:

[yos]

C'est en effet la solution que j'avais . Alben , Tize , Yos , une triplette décidément très efficace ( un petit + pour Alben sur ce coup ) :++:

Imod

Pour cette fois j'y suis pour rien.