Noyau de Dirichlet

[Amsterdam_40]

Bonjour à tous, j'ai un léger problème dans un exercice que je dois réaliser.
Je dois montrer que pour tout n appartenant à N* et pour tout t appartenant à ]0,Pi[ que :

1 + 2*somme(1->n)(cos(2kt)) = sin((2n+1)t)/sin(t)

J'ai essayé en passant par la partie réelle d'une somme d'exponentielle mais ça n'a abouti à rien de concret.. Si quelqu'un peut me lancer sur la voie.. Merci d'avance !

[bentaarito]

t'es sur la bonne voie. tu bloques sur quoi?

[Amsterdam_40]

c'est quand je calcule la somme des exponentielles..

J'ai (1 - e^(2(n+1)t)/(1-e^(2t))
J'ai multiplié le dénominateur et le numérateur par (1-e^(-2t))
Mais je ne vois pas de simplification arriver.. et je bloque à cet endroit là

[bentaarito]

ça va te simplifier un peu la vie d'écrire ça comme ça:
1 + 2*somme(1->n)(cos(2kt))=exp(-2int)*somme(0->2n)(exp(2it)^k)

[Amsterdam_40]

Ai-je vraiment le droit d'écrire sous cette forme là ? Je viens de le faire, j'aboutis bien à ce que je cherche.. Mais faut-il que je justifie ce changement ?

[bentaarito]

on a juste utilisé Euler ( 2cosx=exp(ix)+exp(-ix)) et un petit changement d'indice

[Amsterdam_40]

D'accord et bien merci en tout cas :)