Noyau d’un automorphisme intérieur

[Niki42]

Bonjour à tous,

Je découvre le cours d’algèbre niveau l3 et malheureusement je me heurte à deux questions concernant les automorphismes intérieurs:

1) comment en trouver le noyau?
Les automorphismes intérieurs sont de la forme ig(h) = g.h.g-1
Naturellement pour en trouver le noyau j’aurais posé l’équation
g.h.g-1 = e ( l’élément neutre )
Mais comment en déduire que g.h = h.g ?

2) quels en sont les éléments ?
Si il s’agit d’un automorphisme , le noyau n’est pas réduit à l’élément neutre ?

Un grand merci d’avance pour me sortir de ma confusion

[Mateo_13]

Bonjour,

Les automorphismes intérieurs sont de la forme

Un automorphisme d'un groupe G est un isomorphisme de G dans G (donc il est bijectif).

Si est un automorphisme de G alors pour tout et dans G,

Les automorphismes de la forme sont les automorphismes intérieurs.

[Ben314]

Salut,
Perso, j'aurais plus que beaucoup tendance à considérer que la question a été mal comprise.
A mon avis, concernant ce sujet là, les questions "naturelles" sont les suivantes :

Soit un groupe noté multiplicativement.
On appelle automorphisme de tout morphisme bijectif de dans lui même.
1) Montrer que l'ensemble des automorphismes de muni de la loi de composition est un groupe.
2) Montrer que pour tout l'application est un automorphisme de
Un tel automorphisme est appelé automorphisme intérieur de .
3) Montrer que l'application est un morphisme de groupe.
4) Déterminer le noyau de .
5) Montrer que l'ensemble des automorphismes intérieurs de est un sous-groupe de distingué de .
6) Donner un exemple de groupe tel que et un exemple de groupe tel que

[Niki42]

Bonjour,
Merci d’avoir pris le temps de me répondre !
Exactement ben314, et ma question est relative au point 4)
Si x appartient au noyau de phi_a , alors a.x.a-1 = e_g ( le neutre de G).
Certaines littératures donnent a.x.a-1=x , ce qui permet de considérer que le noyau de phi_a est l’ensemble des x qui commutent avec a, mais je ne m explique pas cette équation
Encore un grand merci par avance !

[Ben314]

On ne demande nulle part de déterminer (pour un donné) le noyau du morphisme vu qu'on a montré à la question 2) que c'est un automorphisme donc qu'il est bijectif, donc en particulier injectif donc que son noyau est le neutre de l'ensemble d'arrivé, c'est à dire .
A la question 4) ce qu'on te demande d'évaluer, c'est le noyau du morphisme c'est à dire de déterminer l'ensemble des (ensemble de départ) tels que soit égal à l'élément neutre de (ensemble d'arrivé). Or, par définition, et l'élément neutre du groupe c'est l'application . Donc ce qu'il faut déterminer, c'est les tels que c'est à dire les tels que, pour tout , on ait .

[Niki42]

Ok je comprend maintenant l’objet de ma confusion.
Merci beaucoup Ben314 pour cet éclaircissement !