Automorphisme intérieur

[Mugiwara287]

Bonsoir, j'ai juste besoin d'une petite clarification. Quelle est la variable de l'automorphisme intérieur ? J'ai l'impression qu'il y a une confusion. Voici 2 démonstrations, dans la première on montre que Cg est un morphisme de groupes et dans la deuxième que le noyau de C est égal au centre Z(G) de G.

1) Pour g ∈ G, la conjugaison par g est l'application :
Cg : G → G
h → ghg^−1.
Il est facile de voir que cg est un morphisme de groupes : pour x, y dans G on a Cg(xy) = gxyg^−1 = (gxg^−1)(gyg^−1) = Cg(x)Cg(y).

Cela voudrait signifier que la variable est x (xy dans l'exemple).

2) Un élément g ∈ ker(C) est tel que pour tout h ∈ G, on a ghg^−1 = h. Ceci signifie que gh = hg, c'est-à-dire que g commute avec tous les h ∈ G donc g est dans le centre de G.
Mais si c'est g qui appartient à ker(C) alors c'est g la variable et non pas x ?

[Skullkid]

Bonsoir, en fait il y a pour ainsi dire deux "niveaux d'arguments". Il faut différencier qui est un morphisme (et même un automorphisme) de G dans G, et C qui est la fonction de G dans Aut(G) qui à un élément g de G associe l'automorphisme .

On peut montrer - et normalement ça devrait être fait ou au moins mentionné dans ton cours - que Aut(G) est un groupe et que C est un morphisme de G dans Aut(G), ce qui permet de parler de son noyau : c'est l'ensemble des éléments de G qui sont envoyés sur l'identité.

En général, surtout si on débute, c'est pas mal d'essayer de faire des choix de notation qui aident à ne pas se perdre. Par exemple ici un choix judicieux serait de réserver les noms g et h aux éléments de G qui ont vocation à se faire manger par C, et de réserver x et y pour ceux qui ont vocation à se faire manger par un . Malheureusement c'est pas trop le cas dans ce que tu as écrit...

[Mugiwara287]

C'est exactement la raison de ma confusion. C'est à présent beaucoup plus clair. Merci.