Nombres premiers

par **jeje56** » 12 Aoû 2009, 14:13

Bonjour,

Je démontre l'existence de la décomposition d'un naturel n en produit de facteurs premiers :

Si n = 2, (p1, a1) = (2, 1). Si n > 2, n possède au moins un diviseur premier p, et lon peut écrire n = pm, avec m < n. Si m = 1, cest fini.
Sinon on applique lhypothèse de récurrence à m pour obtenir une décomposition de m.

Je suis d'accord avec ça, mais la récurrence me semble "bâclée"... Quelle est l'hypothèse de récurrence ici ? Y-a-t-il moyen de mieux rédiger ?

Merci !

par **Nightmare** » 12 Aoû 2009, 14:38

Salut :

L'hypothèse est que pour tout n, n possède une décomposition en facteur premier.

par **Zavonen** » 12 Aoû 2009, 17:00

La propriété est vraie pour n=2.
Montrons que si elle est vraie pour n<=q elle est vraie pour n<=q+1 ( q>=2)
Soit n+1 si premier rien à faire. sinon il existe un facteur premier p de n+1
ecrire n+1=pq avec p>=2 donc q <=n q possède une décomposition en facteurs premiers donc pq aussi, terminé!

par **jeje56** » 12 Aoû 2009, 17:53

Nightmare a écrit:L'hypothèse est que pour tout n, n possède une décomposition en facteur premier.

Pour n fixé plutôt non ? Pour tout n est la conclusion...

par **xyz1975** » 12 Aoû 2009, 19:11

Oui, il veut dire pour n fixé.
Ici on a utilisé la récurrence forte.

par **jeje56** » 14 Aoû 2009, 09:36

Merci à vous trois ;-)

Nombres premiers

Nombres premiers

Qui est en ligne