Nombres premiers

[max]

Bonjour!

Je dois montrer, en utilisant le théorème de bezout (a^b=1 <=> il existe (u,v) € Z², au + bv = 1) la propriété suivante:

"si deux nombres sont premiers entre eux, il en est de même pour leur somme et leur produit"

je n'arrive déjà pas à traduire la propriété entièrement en terme mathématique, et donc encore moins à trouver la démo.

Pourriez vous m'aider?

Merci!

[fahr451]

sans utiliser bezout
par l absurde supposons ab et a+b non premier entre eux
il existe un divisieur premier p commun

p l ab et pl a+b p étant premier p divisant le produit ab divise au moins un des deux nombres disons a

p l a et p l a=b donc p l a+b - a = b et p divisieur premier commun à a et b absurde.

[max]

merci beaucoup!

tant que j'y suis j'ai aussi une petite question.

J'aimerais connaître la méthode à suivre pour résoudre un systeme comme :

x + y = 105
x ^ 21 = 21

sans autres indications?

merci beaucoup

[fahr451]

dans R l unique solution est

x = racine 21ième de 21 et y = 105 -x

[max]

dans R l unique solution est

x = racine 21ième de 21 et y = 105 -x

merci mais x et y appartiennent à N* :(

[Imod]

dans R l unique solution est

x = racine 21ième de 21 et y = 105 -x

Je crois que la notation utilisée par max est x^21=21 pour PGCD(x,21)=21 . Il y a alors 4 solutions dans : (21;84) , (42;63) , (63;42) et ( 84;21) .

Imod

[aviateurpilot]

Je dois montrer, en utilisant le théorème de bezout ...
"si deux nombres sont premiers entre eux, il en est de même pour leur somme et leur produit"

a^b=1
il existe u et v avec ua+vb=1
au²(a+b)=au+(-v+u)uab et bv²(a+b)=bv+(-u+v)vab
(au²+bv²)(a+b)+((-v+u)(v-u))ab=1
(a+b)^ab=1

x + y = 105
x ^ 21 = 21

x^21=21
x+y=105

21|x
x+y=105

x appartiens à {0,21,42,63,84,105}
x+y=105

(x,y) appartiens à {(0,105),(21,84),(42,63),(63,42),(84,21),(105,0)}

[fahr451]

ah merci imod

on m'avait enduit avec de l 'erreur avec une notation (naturelle dans le cadre de
l 'arithmétique ) que j'ai mal interprétée.