Nombres premiers

[Amy]

Salut tout le monde,
A vrai dire j'ai un problème de math et je me trouve bloquer..ça me deprime.. :mur: so je fais appel à vôtre aide..

Enoncé:

P désigne l'ensemble des nombres premiers.

Si p de P et n de N* , on note Vp(n) l'exposant de p dans la decomposition de n en facteurs premiers (eventuellement Vp(n)=0)

1/ Soit p de P, verifier que : quel que soit x et y de N*, Vp(xy)=Vp(x)+Vp(y)

2/Soit p de P et n de N. Si r de N*, on note m(r) le nombre de multiples non nuls de p^r inférieurs ou égaux à n.

a- Montrer que : m(r)=E(n*p^(-r))
Pour quelles valeurs de r, m(r) est-il non nul?

b-Monter que:
Vp(n!)=la somme des m(r) tel que r>ou egale à 1
(preciser le sens de cette ecriture)

c-en utilisant l'encadrement n*p^(-r)-1
d- Que se passe-t-il lorsque n tend vers +l'infini ?

le problème comporte encore d'autres questions mais je ne les ai pas encore travaillé

Pour la première question cest facile, j'ai reussis à faire, il suffit d'ecrire x et y sous la forme de facteurs premiers( p sera l'un de ces facteurs)..
C'est plutot la 2ème question qui me bloque, j'ai pas d'idées :hein: , pour a/ j'ai essayé par recurrence sur r en fixant n mais ça marche pas......... SOS ..please...

[tize]

Bonjour,
il n'y a pas besoin de récurrence, dans n combien de fois a-t-on ? réponse et comme on cherche un entier : . C'est le même principe que la recherche du quotient dans la division euclidienne...

[Amy]

Merci Tize,
il suffit donc d'ecrire les entiers de jusqu'à tel que et le reste de dans la division euclidienne par
on a et , à partir de cet encadrement on obtient:

[Amy]

salut,
quelqu'un pourrait il m'aider pour le reste de l'exercice, j'arrive toujours pas à le resoudre !!!
merci d'avance

[alben]

Bonsoir,

La question 2b te demande d'établir la formule de Legendre. Tu pourras trouver des éléments en cherchant "valuation p-adique" sur Google

[yos]

Soit r le plus grand entier tel que .

Parmi les entiers 1,2,...,n, il y a :
m(1) entiers multiples de ,
m(2) entiers multiples de déjà comptés ci-dessus,
m(3) entiers multiples de déjà comptés deux fois,
etc.
m(r) entiers multiples de (déjà comptés r fois).

Ainsi la somme m(1)+m(2) +...+ m(r) compte r fois les multiples de , (r-1) fois les multiples de , etc
Mais précisément un multiple de contribue à hauteur de r dans .
On a bien .
Et puisque m(k)=0 dés que r>k, il ne coûte rien d'écrire : .