Nombres premiers

[mira]

Salut,merci de m'expliquer comment faire pour cet exercice:

Soit E={4k−1∣∣k∈N∗}
Montrer que pour tout n∈E, il existe p∈P∩E tel que p∣n.
avec P:l'ensemble des nombres premiers

[pascal16]

Je fais le plus dur : si n est premier p=n convient
en regardant 3-4 cas, je pense qu'une démo par récurrence en cherchant les diviseurs dans E permet de conclure.

[Ben314]

Salut,
Je suis pas bien sûr qu'il y ait besoin de traiter différent cas ni de faire une récurrence (je vois pas trop à quoi ça servirait d'ailleurs).
Lorsque tu prend un entier quelconque, il se décompose en produit de facteur premiers qui, hormis 2, sont soit de la forme 4k+1, soit de la forme 4k+3 (ou 4k-1 si tu préfère)
Et la question est simplement de voir pourquoi il y a au moins un de la forme 4k+3, c'est à dire pourquoi il ne peut pas y avoir que des 2 et des premiers de la forme 4k+1.