Nombres premiers

[Vlad-Drac]

Pour tout entier n ≥ 1, on note σ(n) la somme des diviseurs de n compris entre 1
et n (inclus). Par exemple σ(4) = 1 + 2 + 4 = 7.
1. On suppose a et b premiers entre eux. Montrer que σ(ab) = σ(a)σ(b).

j'ai commencé par décomposer a et b en produit de facteur 1er mais ca me semble un peu compliqué pour explicité tout les diviseur ...
et si j'écris σ(a)σ(b)=(1+d1+d2+...+dn)*(1+d'1+d'2+...d'q) ca ne m'avance pas plus car pour σ(ab) je ne vois pas coment l'exprimer

[chombier]

Tu peux écrire par exemple Div(4) = {1; 2; 4} et Div(21)={1; 3; 7; 21}

4 et 21 étant premiers entre eux, comment écrire Div(4*21) = Div(84) en fonction de Div(4) et Div(21) ?

[Vlad-Drac]

leur intersection est reduit à 1 ? franchement je ne vois pas a par explicité les diviseur comme la somme du produit etc
enfin on vois bien qu'il suffi de multiplier les element des deux ensemble mais comment l'explicité et surtout comment utiliser l'hypothese que a et b soient 1er entre eux

[chombier]

Cherche à écrire tous les diviseurs de 84, quelque chose devrait te sauter aux yeux

[Vlad-Drac]

ce sont les diviseur de 4 ou de 21
div(84)=1 2 3 4 7 8

[chombier]

Il t'en manque plein
6 ? 21 ? 84 ?
8 n'est pas un diviseur de 84

Il va falloir un peu se concentrer là !!

Div(84) = { 1; ... }

[Vlad-Drac]

houla au temps pour moi
84=2^2*3*7
et les diviseurs sont
2,3,7,6,4,12,14,21,28,21,42,84
et on obtient σ(ab) = σ(a)σ(b) = 224 dans ce cas

mais du coup y'a rien qui me saute aux yeux XD

[chombier]

Il fallait construire les diviseurs de 84 à partir de ceux de 8 et de 21, sans décomposer 84.
Un diviseur de 84 est forcément le produit d'un diviseur de 8 et d'un diviseur de 21

Comme 8 et 21 sont premiers entre eux,


Le plus dur ça va être de le démontrer (lemme de Gauss j'imagine, et théorème fondamental de l'arithmétique...)

[Ben314]

Salut,
Si on accepte d'utiliser le théorème fondamental de l'arithmétique, alors ça "plie" l'exercice en quelques lignes :
Si et sont deux entiers quelconques (que l'on écrit avec les même premiers distincts dans les deux décompositions, quitte à prendre des exposants nuls) alors il est évident que divise ssi pour tout .
Ca signifie que les diviseurs de sont très exactement les où pour tout (ce qui montre en particulier qu'il y en a )
On peut effectivement en déduire que si et sont premier entre eux alors tout les diviseurs du produit s'écrivent de façon unique comme le produit d'un diviseur de et d'un diviseur de , mais en fait c'est plus vraiment utile vu qu'on peut aussi directement calculer la somme des diviseurs de :

Ce qui montre clairement que lorsque et sont premier entre eux (vu que ce ne sont pas les mêmes nombres premiers qui apparaissent dans les deux décompositions)

Bref, ça me semble plus intéressant de chercher une preuve sans utiliser le théorème fondamental.