Nombres premiers

par **bneay** » 14 Jan 2014, 00:54

prouver qu'il existe un infinité de nombres premiers s'écrivant sous la forme: 4k+1 ou 4k+3, avec k entier.

par **mrif** » 14 Jan 2014, 02:05

Un nb entier quelconque est de la forme 4k ou 4k + 1 ou 4k + 2 ou 4k + 3.
Les nombres de la forme 4k et 4k + 2 ne sont pas premiers puisqu'ils sont pairs.
Comme l'ensemble des nombres premiers et infini (facile à démontrer si nécessaire), on aboutit à la conclusion.

par **bneay** » 14 Jan 2014, 03:07

mrif a écrit:Un nb entier quelconque est de la forme 4k ou 4k + 1 ou 4k + 2 ou 4k + 3.
Les nombres de la forme 4k et 4k + 2 ne sont pas premiers puisqu'ils sont pairs.
Comme l'ensemble des nombres premiers et infini (facile à démontrer si nécessaire), on aboutit à la conclusion.

et si on veut parler de la forme 4k+1 précisément, bien entendu il existe une infinité de nombres premiers sous cette forme 4k+1, mais ta démo ne démontre rien s'il s'agit de cet énoncé; alors voilà le nouveau énoncé.

par **bneay** » 14 Jan 2014, 03:16

Changer "ou" par "et" dans l'énoncé de départ, car avec "ou" c'est trop facile (faute de frappe dsl)

par **deltab** » 14 Jan 2014, 06:41

Bonjour.

mrif a écrit:Un nb entier quelconque est de la forme 4k ou 4k + 1 ou 4k + 2 ou 4k + 3.
Les nombres de la forme 4k et 4k + 2 ne sont pas premiers puisqu'ils sont pairs.
Comme l'ensemble des nombres premiers et infini (facile à démontrer si nécessaire), on aboutit à la conclusion.

Le pôvre 2, on oublie chaque fois qu'il est pair et premier.

par **mrif** » 14 Jan 2014, 11:28

bneay a écrit:Changer "ou" par "et" dans l'énoncé de départ, car avec "ou" c'est trop facile (faute de frappe dsl)

Dans ce cas tu t'inspires de la preuve utilisée pour démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini.
Appelons A l'ensemble des nombres de la forme 4k+1. Si A contient un nombre fini de nbs premiers, on appelle

ces nombes . Essaie de montrer que le nombre

(qui appartient à A) est premier, ce qui contredirait l'hypothèse de départ.

par **Ben314** » 14 Jan 2014, 14:01

mrif a écrit:Essaie de montrer que le nombre (qui appartient à A) est premier, ce qui contredirait l'hypothèse de départ.

Il n'y a aucune raison que

soit premier.
Par contre, si on regarde la décomposition en nombre premier de ce nombre, elle contient obligatoirement des facteurs premiers autres que les

ce qui permet d'exhiber un noveau nombre premier, mais hélas, ce dernier n'est pas forcément congru à 1 modulo 4.

L'idée marche par contre pour les premiers congrus à 3 modulo 4 vu que dans la décomposition en nombre premier d'un entier congru à 3 modulo 4, il y a forcément au moins un premier congru à 3 modulo 4 (en fait, il y a un nombre impair de tels nombres premiers)

Et pour les premiers congrus à 1 modulo 4, un truc qui marche est de considérer

: en utilisant le fait que l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe on peut montrer que tout nombre premier qui divise N est forcément congru à 1 modulo 4.

par **Monsieur23** » 14 Jan 2014, 14:12

Aloha,

Sinon, bulldozer.

par **mrif** » 14 Jan 2014, 15:41

Ben314 a écrit:Il n'y a aucune raison que soit premier.

Je n'avais pas creusé la question et je ne pensais pas le faire car j'étais convaincu intuitivement que l'idée allait marcher. Merci d'avoir signalé la fausse piste.

par **morpho** » 15 Jan 2014, 10:28

Je pense que ça doit marcher aussi :
P=produit des elements de A

N = P² +1 soit q un diviseur premier de N.

Supposons que q est dans A:
q|P
q|(P²+1)
==> q|1 ==> q=1 donc q n'est pas dans A

q | (P²+1) ==> q = a²+b² (diviseur de la forme x²+y² a la meme forme , cours, theorem, admis ...)
q = premier, impaire ==> a= pair et b=impair
q = (2k)²+(2k'+1)² = 4m+1

on en trouve un du meme type mais pas dans A donc contradition avec A fini.

Nombres premiers

Nombres premiers

Qui est en ligne