Nombres premiers

[jeje56]

Bonjour,

Je considère le théorème des nombres premiers :
pi(x) équivalent à x/ln(x) (au vois. de l'infini) où pi(x) désigne le nombre de nombres premiers inférieures ou égaux à x

Peut-on montrer de manière simple : p_n équivalent à n*ln(n) où p_n est le nième nombre premier ?...


Merci !

[egan]

J'ai eu ce truc là en ds et ce n'était pas trivial du tout. Je sais pas à quel niveau tu es mais j'ai apprécié les questions intermédiaires. ^^

[jeje56]

Merci pr ta réponse. Je suis au niveau Capes.

[windows7]

tres simple non mais bon niveau capes tu dois etre calé en analyse complexe.

tape la valée poussin sur google

[ft73]

En fait ça se fait assez bien :

1. tu as trivialement n~p_n/ln(p_n)
2. tu montres que ln(n)~ln(p_n) à partir de l'équiv. préc., en encadrant n et en passant au ln
3. zou ! tu as n~p_n/ln(n) puis cqfd

[windows7]

un style expeditif ! ( jaime ca )

[jeje56]

En fait ça se fait assez bien :

1. tu as trivialement n~p_n/ln(p_n)
2. tu montres que ln(n)~ln(p_n) à partir de l'équiv. préc., en encadrant n et en passant au ln
3. zou ! tu as n~p_n/ln(n) puis cqfd

Salut, merci pr ta réponse : comment passer de 1<=n<=p_n à ln(n) équivalent à ln(p_n) ?

Merci !

[Doraki]

pn ~ n ln(pn). donc

ln(pn) = ln(n) + ln(ln(pn)) + o(1).

pn < 2^n, donc
ln(pn) < n*ln(2), donc
ln(pn) < ln(n) + ln(n*ln(2)) + o(1)
= 2ln(n) + O(1), donc
ln(pn) < ln(n) + ln(2*ln(n)+O(1)) + o(1)
= ln(n) + ln(2*ln(n)) + o(1)
= ln(n) + ln(ln(n)) + O(1)

Comme ln(ln(n))+O(1) = o( ln(n)), on a bien
1 < ln(pn)/ln(n) < 1+o(1), donc ln(pn) ~ ln(n)

[Ben314]

Salut,
Le fait que implique (par définition) qu'à partir d'un certain rang N, on a .
Si tu prend le de cette inégalité puis que tu divise par et enfin que tu fait tendre n vers +oo, tu obtient que...

Edit : grillé...

[Ben314]

Grillé mais...

pn ~ n ln(pn). donc

ln(pn) = ln(n) + ln(ln(pn)) + o(1).

pn < 2^n, donc...

on n'a pas vraiment besoin de pn<2^n : il suffit de diviser la relation ln(pn) = ln(n) + ln(ln(pn)) + o(1) par ln(pn) pour conclure.

[ft73]

pn ~ n ln(pn). donc

ln(pn) = ln(n) + ln(ln(pn)) + o(1).

meuh ?
chuis ptêt dans l'erreur, mais bon...

[Doraki]

Ah ouais Ben, t'as raison, ça va tout seul si on se dit "je vais regarder ln(n)/ln(pn)" plutôt que "ln(pn)/ln(n)". Et ça m'embêtait de devoir partir d'une majoration bidon de pn et d'appliquer plein de fois l'équivalence de départ.

ft73, tu peux lire o(1) et O(1) comme "truc qui tend vers 0" et "truc qui est borné", normalement c'est juste, là ça dit seulement que ln(pn)-ln(n)-ln(ln(pn)) est un o(1), donc tend vers 0.

[ft73]

ft73, tu peux lire o(1) et O(1) comme "truc qui tend vers 0" et "truc qui est borné", normalement c'est juste, là ça dit seulement que ln(pn)-ln(n)-ln(ln(pn)) est un o(1), donc tend vers 0.

ouais sauf que pn ~ n ln(pn) signifie pn/(nln(pn))=1+o(1) et donc c'est un o(nln(pn)) qu'on a, pas un o(1).
Encore une fois, je ne pratique plus les équivalents au quotidien, mais bon, j'ai un gros doute sur ton o(1), là.

[ft73]

j'avais zappé le passage au ln...

[jeje56]

Salut,
Le fait que implique (par définition) qu'à partir d'un certain rang N, on a

Merci pr ta réponse : je ne comprends pas ceci...

Je prends comme définition de x_n équivalent à y_n si (x_n-y_n)=o(y_n)

[ft73]

Merci pr ta réponse : je ne comprends pas ceci...

Je prends comme définition de x_n équivalent à y_n si (x_n-y_n)=o(y_n)

ssi x_n/y_n-1=o(1) ssi x_n/y_n->1 (plus simple, non ? ^^)

d'où l'intervalle qcq qu'on peut prendre, tant qu'il encadre 1.