Nombre infini de nombre premier

[Hao]

bonjour,

j'ai une question sur la démonstration qu'il existe une infinité de nombre premier.

Demonstation par l'absurde, supposons qu'il n'y a qu'un nombre fini n de nombres premiers. On les note p1,...pn. Posons N=1+p1*p2*...*pn. L'entier N est >=2, donc il admet un facteur premier p qui est nécessairement l'un des pi. Ainsi, pi divise N et pi divise p1*...*pn, donc pi divise 1 -> absurde.

Le problème c'est que je ne comprends pas si p facteur premier de N, c.à.d p divise N, comment est-ce qu'on peut dir que p divise pi?

ex: soit N=1+3*5, et soit p=2, donc p div N=16 mais ne p ne divise pas 3 ou 5 ??

Merci d'avance

Cordialement Hao

[Antho07]

ici on suppose qu'il existe un nombre FINI de nombres premiers.
Soit alors n le nombre de nombre premiers.

Et TOUS les nombres premiers.


on considere alors le nombre



autrement N vaut le produit de TOUS les nombres premiers +1.

Par conséquent comme N est plus grand que tous les pi, il est different de tous les pi. donc non premier (puisque les pi regroupent tous les nbs premiers)

il existe donc un nombre premier p qui divise N.

mais p est premier donc c'est l'un des pi, il divise donc le produit de tous les pi puisque c'est l'un d'eux.

au final p est un nombre premier qui divise N
qui divise p1*...*pn donc N-p1*...*pn=1.

or p est un entier.
p divise 1 donc p=1.

Probleme: p est premier , 1 ne l'est pas. CONTRADICTION

[leon1789]

ex: soit N=1+3*5, et soit p=2, donc p div N=16 mais ne p ne divise pas 3 ou 5 ??

Tu es, à très juste titre, en train de déjouer cette preuve par l'absurde abusive...

--> Comme tu viens de faire sur ton exemple,
prends des nombres premiers , puis considère le nombre (qui est au moins égal à 2 !). Alors le plus petit nombre > 1 divisant N est un nouveau nombre premier ! Et ainsi de suite, on construit une infinité de nombres premiers...

Une infinité de nombres premiers n'a rien d'absurde :id:

[Hao]

<< au final p est un nombre premier qui divise N
qui divise p1*...*pn donc N-p1*...*pn=1. >>

voila le reste j'ai tout compris merci, c'est seulement comment est ce qu'on peut dir que:

p divise N et p divise p1*...*pn ?? car sachant que N=1+p1*...*pn
on a:
p divise 1+p1*...*pn ET p divise p1*...*pn?

[Hao]

ahhh bing, la lumière m'a finalement frappé :id:

Merci pour vos aides :D
Hao

[Antho07]

p divise N (il est chosit comme cela)

et p divise p1*...*pn (c'est forcement l'un d'eux)


donc p divise la difference qui vaut 1