P premier <=> (p) premier

[chombier]

Bonjour,
J'ai l'impression qu'il n'y a pas équivalence entre p premier et (p) premier.

Voici mes définitions : soit A un anneau commutatif unifère.
- un anneau unifère A est intègre si'il est non nul, associatif et si ab=0 => a=0 ou b=0
- un idéal I de A est premier A/I est intègre
- si , (x) est le plus petit idéal de A (au sens de l'inclusion) contenant a. On montre que (x) = xA.
- est premier s'il est non nul, non inversible et si p|ab => p|a ou p|b

On a une caractérisation bien pratique d'un idéal premier :
- un idéal I de A est premier si et

Le cas critique est celui où p=0 et A est intègre, dans lequel (p) est premier mais p n'est pas premier.

Si tout cela est vrai, ça voudrait dire qu'il y a une mini coquille dans le Perrin (et vu l'importance de ce livre vous comprendrez que je demande confirmation) :



Qu'en pensez-vous ?

Edit : Deux petits oublis :
1) J'ai oublié de spécifier qu'un idéal premier doit être propre, c'est à dire différent de A. C'est une conséquence du fait que l'anneau nul n'est pas intègre. C'est aussi ce qui permet d'affirmer que (p) premier => p non inversible.
2) Pour le cas critique, j'ai oublié de spécifier que A doit être intègre.
Le seul cas où (p) est premier et p n'est pas premier, c'est quand p=0 et A est intègre.

Pour clarifier les choses, est un idéal premier si et seulement si A est un anneau intègre.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

En effet, (p) premier entraîne que p n'est pas inversible, mais n'entraîne pas que p est non nul.

[chombier]

Ok merci !

Pour le a) je le trouve aussi assez léger puisque p premier => p irréductible n'est vrai que si A est intègre (il a l'air de dire qu'aucune hypothèse sur A n'est nécessaire).

D'ailleurs il ne finit pas sa preuve, il faudrait montrer que a ou b est inversible :

Si p divise a, pk=a donc abk=a donc a(bk-1)=0, comme a<>0 et A est intègre, bk-1=0 donc b est inversible.

C'est comme s'il avait montré que (p) premier => p premier, en oubliant de spécifier que .